一、計算證明題
1.
給定空間中四點\(O(0,0,0)\)，\(A(-11,1,2)\)，\(B(1,1,5)\)，\(C(7,-2,-1)\)，設\(\vec{OP}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}\)，\(0\le x\le1\)，\(0\le y\le x\)，\(y\le z\le1\)，試求\(\vec{OP}\)之終點\(P\)所形成區域的體積。
2.
圖1為函數\(f(x)=a\cos(bx+c)+k\)的圖形，其中\(\displaystyle A\left(\frac{5\pi}{18},1\right)\)，\(\displaystyle B\left(\frac{11\pi}{18},4\right)\)，\(b>0\)，\(\pi<c\le2\pi\)，試問數對\((a,b,c,k)\)。
3.
若函數\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{x-3}\)，則導數\(f^{\prime}(2)=\)?
4.
想要給\(4\times4\)方格中標記上「圈圈」與「叉叉」，使得每一行或每一列正好有兩個「圈圈」和兩個「叉叉」方格，一共有幾種不同方法？
5.
設\(\log A=a\)，\(\log B=b\)，\(\log C=c\)，且\(a+b+c=0\)，求\(A^{\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\cdot B^{\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)}\cdot C^{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\)之值。
設\(a,b,c,d \in R,abcd \ne 0\)，且\(a+b+c+d=0\)，則
\(\displaystyle a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{d}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+d(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)之值為
。
(106麗山高中，
https://math.pro/db/thread-2742-1-1.html)
(Fubini定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317)
6.
袋中十顆球分別為1、2、…、9、10號球，從袋中隨機拿取三顆球，求此三球球號數兩兩互質的機率為何？
7.
已知二次實係數多項式\(f(x)\)及三次實係數多項式\(g(x)\)領導係數皆為1，且\(g(x)\)除以\(f(x)\)的餘式為\(x+2\)，\((f(x))^2\)除以\(g(x)\)的餘式為\(2x-1\)，試求兩多項式\(f(x)\)、\(g(x)\)。
8.
已知\(y=8x^2-36x+34\)和\(\displaystyle y=\frac{k}{x}\)交於\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)、\(C(x_3,y_3)\)三點，若\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)成等差數列，試問\(k\)之值為何？
9.
已知坐標平面上一點\(P\)，先對直線\(y=x\)對稱後再對直線\(y=2x\)對稱的點坐標，會與\(P\)直接對直線\(y=3x\)對稱的點坐標相等。若滿足這樣條件的點必落在直線\(y=mx\)上，試求\(m\)。
10.
求方程式\(x^2+y^2=6x+6\sqrt{3}|y|\)之圖形所圍成區域的周長。
11.
設\(z\)為一複數。若\(\displaystyle\frac{2z-(9+3\sqrt{3}i)}{z}=\sqrt{3}(\cos150^{\circ}+i\sin150^{\circ})\)，試求\(\displaystyle Arg\left(\frac{z-(3+\sqrt{3}i)}{z}\right)\)之值。
12.
試問\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3n+6}+\frac{1}{3n+12}+\frac{1}{3n+18}+\dots+\frac{1}{3n+6n}\right)\)之值為何？
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
13.
設\([x]\)為不超過\(x\)的最大整數，求\(\displaystyle\left[\frac{1}{\sqrt{115}}+\frac{1}{\sqrt{117}}+\frac{1}{\sqrt{119}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2025}}\right]\)之值。
(類似問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048)
14.
在海軍演習的雷達螢幕上，兩架無人機正在執行飛行測試，它們在同一時間出發，偵察機從\(A(1,0,2)\)沿著直線等速飛行2秒後到達位置\(B(5,4,0)\)。攔截機從\(C(1,11,13)\)沿著直線等速飛行1秒後到達位置\(D(2,9,10)\)，假設經過一段時間後，兩架無人機的距離最近，試求此時的最近距離。
15.
空間中直線\(L_1\)：\(\displaystyle\frac{2-x}{2}=\frac{1+y}{-1}=\frac{1-z}{2}\)、\(L_2\)：\(\displaystyle\frac{1-x}{2}=\frac{1-y}{-2}=\frac{2+z}{1}\)。若\(L_1\)落在平面\(E\)上，且\(L_2\)和平面\(E\)的夾角之餘弦值為\(\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\)，試問平面\(E\)的方程式為何？
16.
求證\(\displaystyle\frac{1}{\sin24^{\circ}}+\frac{1}{\sin48^{\circ}}+\frac{1}{\sin96^{\circ}}=\frac{1}{\sin168^{\circ}}\)。
