一、簡答題
說明：第一部分為簡答題，只需將各題答案依照題號在答案卷上書寫清楚。
1.
複數平面上，點\(A,B,C\)分別對應複數\(z_1,z_2,z_3\)，若\(|z_1-3i|=|z_1-2+i|\)，\(z_2=(-1+\sqrt{3}i)z_1\)，\(z_3=3i\cdot z_1\)，則\(\triangle ABC\)的最小面積為何？（請化為最簡根式）
複數平面上，O為原點，△ABO的頂點A、B分別對應複數\( z_1 \)、\( z_2 \)，若\( |\; z_1-1-3i |\;=|\; z_1-5+5i |\; \)且\( z_2=(1+\sqrt{3}i)z_1 \)，則△ABO的最小面積為
(101文華高中二招，
https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)
(我的教甄準備之路 三角形的面積，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)
2.
若\(9^x+6^x=4^x\)，試求\(x=?\)
3.
如圖，圓\(O\)與直線\(BC\)、\(AC\)、\(AB\)分別相切於\(D,E,F\)三點。已知\(\overline{BC}=4,\overline{AC}=5,\overline{AB}=6\)，若\(\vec{AD}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AC}\)，則\((\alpha,\beta)=?\)
4.
有一個正四面體的公正骰子，四面點數分別為1,2,3,4。將骰子投擲三次，底面的點數分別為\(a,b,c\)，則此三數\(a,b,c\)可作為三角形三邊長的機率為？
5.
已知\(0\le\theta<2\pi\)，試求滿足不等式\(\displaystyle(\frac{1}{3})^{\sqrt{3}\cos\theta}\ge(\frac{1}{3})^{1+\sin\theta}\)的\(\theta\)值範圍？
二、教學演示題
說明：請完整寫出演繹過程；從教學者的角度，對應解題過程，簡述該過程應「如何引導學生思考，或與過程中相關的課程延伸聯結」。
6.
甲袋中有1黑1紅兩顆球，乙袋中有兩顆黑球。操作規則為：先隨機自甲袋中取出一球置入乙袋，再自乙袋中取出一球置入甲袋，稱之為操作一次。某生按照此規則操作並記錄若干次後，令\(p_n=\)操作完第\(n\)次，甲袋中有紅球的機率，試求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=?\)並解釋之。
7.
試證明\(\forall n\in\mathbb{N}\)，\((3+\sqrt{7})^n\)的整數部分是奇數。
若\(n\)是大於\((\sqrt{5}+\sqrt{2})^6\)的最小整數，試求\(n\)之值？
(100高師大附中代理，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4841)
8.
設函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle\int_2^xf(t)dt=2x^3-6x+a-1\)，\(a\in\mathbb{R}\)為一定數。試求\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成的區域繞\(x\)軸旋轉所得之立體體積為？
9.
蒙提霍爾問題(Monty Hall problem)：有一電視節目，參賽者會看見三扇門，其中一扇門的裡面有一輛汽車，選中裡面是汽車的那扇門，就可以贏得該車，另外兩扇門裡面則都是一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，主持人會開啟另一扇是山羊的門，並問：「要不要換一扇門？」。請完整說明你的選擇與理由；再者若條件改成「4扇門中1車3羊，選定後主持開1扇羊門（剩3門）」，則此時你的選擇（換，或不換）與理由。最終，若條件改成「\(n\)扇門中1車與\((n-1)\)羊，選定後主持開1扇羊門（剩\((n-1)\)門）」時，你的選擇與理由。
10.
假設\(\triangle ABC\)是邊長為1的正三角形，今將三邊分別三等分，取中間段為一邊向外側做一個正三角形，並將中間這一段擦去，其次將剩下的每一邊再三等分，取中間段為一邊向外側做一個正三角形，再將中間這一段擦去，依此序繼續下去，可得到一系列的圖形，被稱為科赫雪花曲線(Koch snowflake)。如圖(步驟一,二,三,四…)。若令\(l_n,A_n\)分別表示步驟\(n\)時，科赫雪花曲線的周長與面積。試寫出\(l_n,A_n\)的遞迴表示式，並寫出\(l_n,A_n\)的一般項通式。
