計算題第 4 題
設\(a_1,a_2,a_3,a_4\)為兩兩互質的整數，且\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=n\)為整數，試求所有符合題意的\(n\)值。
[解答]
n = 1/a_1 + 1/a_2 + 1/a_3 + 1/a_4

(1) n 的最大值是 4，此時 a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 1

n 的最小值是 -4，此時 a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = -1

(2) 若 n = 3
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 1，另兩個為 2，不互質，不合題意

若 n = -3
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 -1，另兩個為 -2，不互質，不合題意

(3) 若 a_1、a_2、a_3、a_4 中有 3 個 1，另一個為 -1，則 n = 2

若 a_1、a_2、a_3、a_4 中有 3 個 -1，另一個為 1，則 n = -2

(4) 若 n = 1
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 1，另兩個為 -2，不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 1 個 1，另三個不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 0 個 1，四個數不互質，不合題意

若 n = -1
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 -1，另兩個為 2，不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 1 個 -1，另三個不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 0 個 -1，四個數不互質，不合題意

(5) 若 a_1、a_2、a_3、a_4 中有 2 個 1，另  2 個為 -1，n = 0

老師想請教一下

要如何說明n=2時  只有 -1 -1 1 1 這四個數字組成 沒有其他可能呢

感謝老師!

題目要求所有符合的 n 值
所以舉 -1，1， 1，1 這個例子，可讓 n = 2 就行了
不用證明 n = 2 只能由它組成

整理了一些解答，供參考~