感謝回覆,非常清楚!!

1.因為約束條件為x^2+y^2/45=1
   如果x按照y的方式提出，最後x^2跟y^2的係數比
   不會是45：1

2.算幾不等式
   為了湊x^2,又要把分母算幾後變成常數
   所以與相加的係數要是1，相乘的次方要是2次
   自然選擇兩個 x／2

    2/1-x=（2×x/2×x/2）/(1-x)×x/2×x/2
    對分母做算幾不等式
    [((1-x）+x/2+x/2)/3]^3>=(1-x)×x/2×x/2
    所以分母部分小於等於1／27

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2025-4-30 01:08 編輯 ]

感謝解惑
所以比較像是去嘗試看看要提出x還是y或是兩個都要提出
最後看看誰的係數比符合題意
不然一開始很難看出要提出y但不提出x

引用:

原帖由 MAJIADI 於 2025-4-28 11:55 發表
114鳳新高中

7474

#3
所求為紅色區域面積

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-4-30 10:56 編輯 ]

想教第五題以及第9(4)題謝謝
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謝謝鋼琴老師#16樓、19樓的回覆
確實9(4)很難賺XDDD

[ 本帖最後由 shihqua 於 2025-5-2 10:55 編輯 ]

第 5 題
PD + PE + PF = (1/2)√3
PD：PE：PF = 1：3：2
PD = (1/12)√3、PE = (1/4)√3、PF = (1/6)√3

過 P 作 HK 平行 AB、JN 平行 BC、IM 平行 CA
△PHI、△PJK、△PMN 均為正三角形
PH = PI = 1/6
PJ = PK = 1/2
PM = PN = 1/3

PA^2 = PK^2 + AK^2 - 2 * PK * AK * cos120∘= 1/4 + 1/9 - 2 * (1/2) * (1/3) * (-1/2) = 19/36
PA = (1/6)√19
同理 PB = (1/6)√7，PC = (1/6)√13

PA + PB + PC = (1/6)(√19 + √7 + √13) < (1/6)(5 + 3 + 4) = 2

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-4-30 23:46 編輯 ]

想請教一下第６題
大家都沒問題那肯定就是我做法有問題

原題等同在AB上找一點P，並在CP上找A的垂足E，求AE^2+BE^2最小
座標化
A(0,4)
B(3,0)
C(0,0)
P(3t,4-4t)
則CE直線方程式:y=(4-4t/3t)x
過A點垂線:y-4=(3t/4t-4)x
寫到這邊其實快瘋了...
令k=4-4t/3t回頭再檢查條件
=>-(1/k)x+4=kx
=>x=4k/(k^2+1)
=>y=4k^2/(k^2+1)

垂足E(4k/(k^2+1),4k^2/(k^2+1))

AE^2+BE^2=(4k/(k^2+1))^2+(4-4k/(k^2+1))^2+(3-4k/(k^2+1))^2+(4k^2/(k^2+1))^2
經過一連串崩潰的計算，好險4次方能消掉...
=25-24k/(k^2+1)
求24k/(k^2+1)極值得±12
--------------------------------------
感謝鋼琴老師，忘記用到角C是直角的條件...

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-5-1 06:41 編輯 ]

第 6 題
∠BCP = α，∠ACP = (π/2 - α)

若 D 是 CP 上一點
因平面 BCP 和平面 ACP 垂直，故 BD 和 AD 垂直

AB^2 = BD^2 + AD^2 = BD^2 + CD^2 + AC^2 - 2 * CD * AC * cos∠ACP
= (3sinα)^2 + (3cosα)^2 + 4^2 - 2 * 3cosα * 4 * cos(π/2 - α)
= 25 - 12sin2α

當 α = π/4 時，AB 有最小值 √13

4 個小題才 10 分，先跳過

第 9 題 (4)
以下積分範圍都是 0 ~ π/4
1/2 = ∫(tanx)dx + ∫[(tanx)^3]dx
1/4 = ∫[(tanx)^3]dx + ∫[(tanx)^5]dx
1/6 = ∫[(tanx)^5]dx + ∫[(tanx)^7]dx
1/8 = ∫[(tanx)^7]dx + ∫[(tanx)^9]dx
:
:

(1/2 - 1/4) + (1/6 - 1/8) + (1/10 - 1/12) + ...
= ∫(tanx)dx - ∫[(tanx)^n]dx
= ∫(tanx)dx
= ln[sec(π/4)] - ln[sec(0)]
= ln(√2)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-5-1 11:37 編輯 ]

引用:

原帖由 MAJIADI 於 2025-4-28 11:55 發表
114鳳新高中

7474

第 9 題 (3)   也才一分，太難賺了
I_n + I_(n+2)
=∫ {0 to  π/4}  [ (tanx)^n + (tanx)^(n+2) ] dx
=∫ {0 to  π/4}  [(tanx)^n*(1+(tanx)^2)]dx
=∫ {0 to  π/4}  (tanx)^n*(secx)^2 dx
=∫ {0 to  π/4}  (tanx)^n*d(tanx)
=[1/(n+1)]*(tanx)^(n+1)   |  {0 to  π/4}
=1/(n+1)