114建功高中

3.
設\(f(n)\)表示最接近\(\root 6\of n\)的整數，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2026}\frac{1}{f(k)}=\)　　　

設 \(a_k\) 表示為最接近 \(\sqrt{k}\) 的整數, ex: \(a_1=1,\,a_2=1,\,a_3=2\).試求 \(\displaystyle\sum^{2016}_{k=1}\frac{1}{a_k}\)
(105高雄女中代理，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2555&page=1#pid15958)

5.
將10個半徑為3的球堆成一個三角垛(下為上視圖)，則最上面那顆球的最高點離地面的高度為　　　。

將十個半徑為1的球堆成一個三角垛，則最上面那顆球的最高點離地面的高度為　　　
(112基隆女中，https://math.pro/db/thread-3748-1-1.html)

6.
某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的LED燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：
紅色：「亮3秒，再暗1秒，再亮2秒」
綠色：「亮6秒，再暗2秒」
藍色：「亮\(k\)秒，再暗\((18-k)\)秒」，其中\(k\)為正整數。
若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環，面板上都一直有燈亮著，並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略，則\(k\)的最小值為　　　

某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的LED燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：
紅色：「亮3秒，再暗1秒，再亮2秒」
綠色：「亮6秒，再暗2秒」
藍色：「亮\(k\)秒，再暗\((15-k)\)秒」，其中\(k\)為正整數。
若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環，面板上都一直有燈亮著，並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略，則\(k\)的最小值為　　　
(114學測數學B，連結有解答https://public.ehanlin.com.tw/pr ... %80%83%E7%A7%91.pdf)

8.
坐標空間中，考慮邊長為2的正立方體，固定一頂點\(O\)。從\(O\)以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為\(P\)、\(Q\)，試問所得內積\(\vec{OP}\cdot \vec{OQ}\)之期望值=　　　。

坐標空間中，考慮邊長為1的正立方體，固定一頂點\(O\)。從\(O\)以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為\(P\)、\(Q\)，試問所得內積\(\vec{OP}\cdot \vec{OQ}\)之期望值為下列哪一個選項？
(1)\(\displaystyle \frac{4}{7}\)　(2)\(\displaystyle \frac{5}{7}\)　(3)\(\displaystyle \frac{6}{7}\)　(4)1　(5)\(\displaystyle \frac{8}{7}\)
(112學測，連結有解答https://public.ehanlin.com.tw/pr ... %80%83%E7%A7%91.pdf)

10.
方程式\(\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x\)的所有實根的乘積為　　　


12.
在座標平面上，求滿足\(|\;13x-10y+6|\;+|\;17x+13y-2|\;\le 339\)的區域面積為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2264&page=3#pid13904

13.
\(f(x)\)為一個五次實係數多項式，如果\(f(x)+1\)能被\((x-1)^3\)整除，且\(f(x)-1\)能被\((x+1)^3\)整除，則滿足上述條件之\(f(x)=\)　　　
(106高中數學能力競賽，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3579&page=1#pid23437)

14.
長方體\(ABCDEFGH\)中，對角線\(\overline{CE}\)至不相鄰三邊的距離分別為\(2\sqrt{5}\)、\(\displaystyle \frac{30}{\sqrt{13}}\)、\(\displaystyle \frac{15}{\sqrt{10}}\)，則此長方體體積為　　　。
(103高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2125&page=1#pid12506)
(108新北市高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=2#pid19907)

15.
一個凸四邊形\(ABCD\)如圖所示，其中\(\angle ABC=135^{\circ}\)，\(\angle BCD=120^{\circ}\)，\(\overline{AB}=\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=6-\sqrt{3}\)，\(\overline{CD}=6\)，求\(\overline{AD}=\)　　　。
(109高中數學能力競賽　中投區筆試二試題，連結有解答https://math.pro/db/attachment.p ... 22&t=1742574485)
https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html

二、計算證明題
2.
試證：\(\displaystyle \frac{1}{cos0^{\circ}cos1^{\circ}}+\frac{1}{cos1^{\circ}cos2^{\circ}}+\frac{1}{cos2^{\circ}cos3^{\circ}}+\ldots+\frac{1}{cos88^{\circ}cos89^{\circ}}=\frac{cos1^{\circ}}{sin^2 1^{\circ}}\)
(106高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3579&page=1#pid23437)

Find the least positive integer \(n\) such that
\(\displaystyle \frac{1}{sin45^{\circ}sin46^{\circ}}+\frac{1}{sin47^{\circ}sin48^{\circ}}+\ldots+\frac{1}{sin133^{\circ}sin134^{\circ}}=\frac{1}{sin n^{\circ}}\)
(2000AIME II，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_15)

10.
方程式\(\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x\)的所有實根的乘積為　　　
[解答]
令x=cosa ,取0<=a<=pi
則原式等同sina=cos(3a)
=>cos(pi/2-a)=cos(3a)
=>pi/2-a+2k*pi=3a  or  pi/2-a+2k*pi=-3a
=>a=pi/8+k*pi/2  or  -pi/4-k*pi
=>a=pi/8,  5pi/8  or   3pi/4
=>所求=cos(pi/8)cos(5pi/8)cos(3pi/4)
=1/2(cos(6pi/8)+cos(4pi/8))cos(3pi/4)
=1/2*(-2^(-0.5))*(-2^(-0.5))=+0.25
沒排版看得連自己眼睛都脫窗了，感謝鋼琴老師指正

11.
設\(f(x)=log(\sqrt{1+\pi^2 x^2}-\pi x)+\pi\)，已知\(f(m)=5\)，則\(f(-m)=\)　　　
[解答]
令g(x)=f(x)-pi
則g(m)=f(m)-pi=5-pi
令pi*x=y
則g(y)=log((1+y^2)^0.5-y)
令y=tan(a)
g(a)=log(|sec(a)|-tan(a))
g(-a)=log(|sec(-a)|-tan(-a))=log(|sec(a)|+tan(a))
不可能為偶函數，嘗試證明奇函數
若g(a)為奇函數則
-g(a)=g(-a)
=>-log(|sec(a)|-tan(a))=log(|sec(a)|+tan(a))
=>1/(|sec(a)|-tan(a))(|sec(a)|+tan(a))
=>1=|sec(a)|^2-(tan(a))^2=1成立
=>g為奇函數則g(-m)=-g(m)=-5+pi=f(-m)-pi
=>f(-m)=-5+2pi

第 10 題
應是 0.25

10.
方程式\(\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x\)的所有實根的乘積為　　　
[解答]
左式為一單位圓之上半圓
右式為一對稱原點之三次函數
可知道圖形畫出來有三交點
將題目給的式子平方後變為六次式因上半圓與三次函數的交點與下半圓與三次函數的交點成對稱
故平方後的六根積為-1/16 上半圓三根乘積為1/4 下半圓三根乘積為-1/4
故答案為1/4

3.
設\(f(n)\)表示最接近\(\root 6\of n\)的整數，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2026}\frac{1}{f(k)}=\)　　　
[解答]
若\(\displaystyle \sqrt[6]{n}=k\)，表示\(\displaystyle k-\frac{1}{2}\leq \sqrt[6]{n}<k+\frac{1}{2}\)
整理得到\(\displaystyle (k-\frac{1}{2})^6 \leq n < (k+\frac{1}{2})^6\)

if \(k=1 \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{64}\leq n < \frac{729}{64}\)，\(n\) 有1~11共11個

if \(k=2 \Rightarrow \displaystyle \frac{729}{64}\leq n < \frac{5^6}{64}\)，\(n\) 有12~244共233個

if \(k=3 \Rightarrow \displaystyle \frac{5^6}{64}\leq n < \frac{7^6}{64}\)，\(n\) 有245~1838共1594個

if \(k=4 \Rightarrow \displaystyle \frac{7^6}{64}\leq n < \frac{9^6}{64}\)，\(n\) 有1839~2026共188個

所求\(\displaystyle 11+\frac{233}{2}+\frac{1594}{3}+\frac{188}{4}=705\frac{5}{6}\)

2.
已知\(z\)是複數且\(\displaystyle z-\frac{4}{z}\)是純虛數，則\(|\;z-1-i|\;\)的最小值是　　　。
[解答]
\(\displaystyle z-\frac{4}{z}\)為純虛數，因此\(z\)必不為實數
假設\(z=a+bi  ,a\neq 0\), 純虛數為\(ki\)

列式整理後可得\(a^2+b^2=4\)，即該圓到\((1,1)\)的最短距離
所求為\(2-\sqrt{2}\)

請問填充9與計算1

計算第 1 題
有一個不均勻的骰子，擲出1、2、3、4、5、6點的機率依序為\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\)，且數列\(\langle a_n \rangle\)恰為等差數列，令投擲此骰子兩次，所得的點數依序記為\(a\)、\(b\)，若事件『\(a+b=7\)』發生的機率是\(\displaystyle \frac{1}{7}\)，求
(1)\(a_1+a_5=\)？
(2)事件『\(a=b\)』發生的機率為何？
[解答]
(1) 由於擲出各點的機率呈等差
故 a_2 + a_5 = a_1 + a_6 = a_3 + a_4 = 1/3

(2) 擲出 a + b = 7 的機率 = 2(a_1a_6 + a_2a_5 + a_3a_4) = 1/7

擲出 a = b 的機率 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 + a_5^2 + a_6^2
= (a_1 + a_6)^2 + (a_2 + a_5)^2 + (a_3 + a_4)^2 - 2(a_1a_6 + a_2a_5 + a_3a_4)
= 3(1/3)^2 - 1/7
= 4/21

9.
在菱形\(ABCD\)中，\(\angle DAB=60^{\circ}\)，將\(\triangle ABD\)沿對角線\(\overline{BD}\)折起得\(\triangle A_1BD\)，使得\(A_1BD\)面與\(CBD\)面所夾二面角為\(60^{\circ}\)，設向量\(\vec{DA_1}\)與向量\(\vec{BC}\)的夾角為\(\theta\)，則\(cos\theta=\)　　　
[解答]
架設坐標
\(A(0,0,0,),B(2,0,0),C(3,\sqrt{3},0),D(1,\sqrt{3},0)\)

利用兩面角\(60^{\circ}\)條件求出\(A_1 (\displaystyle \frac{9}{4},\frac{3}{4}\sqrt{3},\frac{3}{2})\)

\(\displaystyle \vec{DA_1}=(\frac{5}{4},\frac{-\sqrt{3}}{4},\frac{3}{2})\)
\(\displaystyle \vec{BC}=(1,\sqrt{3},0)\)

平移一下知道\(\theta\)是銳角

計算得\(\cos\theta =\displaystyle \frac{1}{8}\)