113花蓮女中
06/17 17:22 更新題目為含有計算題的

一、填充題
2.
袋中有編號\(1,2,3,\ldots,50\)的球各一個，今自袋中任取3球，令隨機變數\(X\)表所取出球中號碼之最大值，則\(X\)之期望值\(E(X)=\)　　　。

袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,…,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。
(99屏東女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659)

3.
設\(f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\)，則\(f(x^{12})\)除以\(f(x)\)的餘式為　　　。

設多項式\(f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\)，則\(f(x^{12})\)除以\(f(x)\)所得到的餘式為何？
(A)6　(B)\(5-x\)　(C)\(4-x+x^2\)　(D)\(3-x+x^2-x^3\)
(94台南縣國中聯招，連結有解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770)

4.
設函數\(f(x,y)=x^2-xy+y^2+2x-3y+5\)，當數對\((x,y)=\)　　　時，\(f(x,y)\)有最小值。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

6.
在銳角\(\Delta ABC\)中，若\(sinA=2sinB\cdot sinC\)，則\(tanA\cdot tanB\cdot tanC\)的最小值為　　　。
百度文章，連結有解答https://zhidao.baidu.com/questio ... 0%E5%B0%8F%E5%80%BC

二、計算證明題
5.
設\(m\)、\(n\)為整數，且\(m\times n\ge 0\)，則滿足\(m^3+n^3+93mn=31^3\)的序對\((m,n)\)有多少組？
(110高中數學能力競賽北一區筆試二，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847)

老師我想請問第七題

想問第五題～謝謝！！

第五題
設複數\(z\)為方程式\(x^4+4\sqrt{2}x^3i-12x^2-8\sqrt{2}xi-4i=0\)之根(其中\(i=\sqrt{-1}\))，則\(|\;z+\sqrt{2}i|\;=\)　　　。
[解答]
化簡得，\((x+\sqrt{2}i)^4=4+4i\)
所以，\(|z+\sqrt{2}i|^4=4\sqrt{2}\)
\(|z+\sqrt{2}i|=2^{\frac{5}{8}}\)

第7題
設坐標空間中有一平面\(E\)：\(6x-2y-3z+7=0\)，而\(E\)上有四點\(O,A,B,C\)，與法向量\(\vec{n}=(6,-2,-3)\)。而\(E,O,A,B,C,\vec{n}\)的相對位置如示意圖，其中\(\Delta OAB,\Delta OBC,\Delta OCA\)的面積分別為\(14,7,42\)，且\(\vec{OA}=(a_1,a_2,a_3),\vec{OB}=(b_1,b_2,b_3),\vec{OC}=(c_1,c_2,c_3)\)，則\(\left|\ \matrix{4&a_1&a_2\cr 5&b_1&b_2 \cr 2&c_1&c_2}\right|\ =\)　　　
[解答]
因為\(|n|=7\)
所以\(OA×OB=4n=(24,-8,-12)，OB×OC=2n=(12,-4,-6)，OC×OA=12n=(72,-24,-36)\)
因此，\(
\left|
\begin{array}
{cc}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}
\right|=-12，
\left|
\begin{array}
{cc}
b_1&b_2\\
c_1&c_2
\end{array}
\right|=-6，
\left|
\begin{array}
{cc}
c_1&c_2\\
a_1&a_2
\end{array}
\right|=-36，
\)

所求\(＝(4,5,2)．(-6,-36,-12)＝-228\)

(抱歉，省略向量符號)

想問老師們計算2.4.6.7，謝謝！！

謝謝老師！！

#計算2
設\(f(x)=(x-a)(x-2021)+1\)，\(g(x)=(x-b)(x-c)\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)為整數。若\([f(2022)-g(2022)]^2+[f(2023)-g(2023)]^2=0\)，試求\(f(2024)\)之值。
[解答]
\( \displaystyle [f(2022)-g(2022)]^2+[f(2023)-g(2023)]^2=0 推得 f(2022)-g(2022)=0、f(2023)-g(2023)=0\)，
考慮\( h(x)=f(x)-g(x) \)，由題目第一句話可知\( deg(h(x))=deg(f(x)-g(x)) <2 \)，
又\( h(x)=0 有 2022、2023\)等兩根，表示\( h(x)=0 \)。
復比較\(f(x)、g(x) \)係數可得：a+2021=b+c、2021a+1=bc，故 2021(b+c-2021)+1=bc，整理可得(b-2021)(c-2021)=1。
因為b,c,a為整數，故(b,c,a)=(2020,2020,2019)或(2022,2022,2023)。
所以\( f(x)=(x-2019)(x-2021)+1 或f(x)=(x-2023)(x-2021)+1\)，剩下就自己算吧，答案是16或4。

計算第 4 題
試證明\(a\)、\(b\)的方程式\(2^a-3^b=1\)恰有二組非負整數解。
[解答]
(1) a = 1，b = 0
(2) a = 2，b = 1
(3) a > 2
2^a ≡ 0 (mod 8)
b 是正奇數，3^b + 1 ≡ 4 (mod 8)
b 是正偶數，3^b + 1 ≡ 2 mod 8)
無解

負整數部分就不寫了