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第 7 題
三角錐\(A-BCD\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}\)，\(\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{BD}\)。若\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心，且\(\overline{DG}=1\)，試求三角錐\(A-BCD\)的體積最大值為？
[解答]
作 AM 垂直平面 BCD 於 M；GN 垂直平面 BCD 於 N
設 AM = h，則 GN = h/3
作 DE 垂直 BC 於 E
設 BC = x，NE = (1/3)ME = (1/3)(1/3)DE = (1/9)DE
DN = (8/9)DE = (8/9)(√3/2)x = (4√3/9)x
GN = √(DG^2 - DN^2) = √[1 - (16/27)x^2]
A-BCD 體積 = (h/3)(√3/4)x^2 = √(3/16)x^4 - (1/9)x^6]
微分可知，當 x^2 = 9/8 時，體積有最大值 9/32
