有鑑於松山以往好像都沒有公告題目，附檔為小弟記憶之版本，有遺漏錯誤之處，再煩請各位老師補充，謝謝~！

註：pdf檔為避免超過檔案大小上限，可能有點模糊，可以參考圖片檔！

6/4更新：學校已公告填充題題目與答案，如附檔。

1.
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(a_1=3\)，且滿足\(a_{n+1}=4+a_n+\sqrt{1+16a_n}\)，求數列一般項\(a_n=\)？

數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)、\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})\)，求此數列的一般項\(a_n\)。
(109中科實中國中部，連結解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3347&page=1#pid21480)

9.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}=\)？

二、計算題
3.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{AC}=b\)，\(\overline{AB}=c\)，\(\triangle ABC\)的內切圓分別交\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{AC}\)於\(D,E,F\)三點，若令\(\overline{AD}=x,\overline{BE}=y,\overline{CF}=z\)
(1)試證明：\(\displaystyle x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{a+c-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\)
(2)證明：\(abc\ge (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)\)．並說明等號成立時，\(\triangle ABC\)為正三角形。

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謝謝老師

113.6.4版主補充
官方題目統一由第一篇下載，此篇題目先行移除

第 2 題
設\(f(x)\)為定義在區間\((0,\infty)\)上的嚴格遞增函數，且對任意的\(x>0\)，\(\displaystyle f(x)\cdot f(\frac{1}{x}+f(x))=1\)均成立，試求\(f(1)=\)？
[解答]
f(x) * f(1/x + f(x)) = 1
f(1) * f(1 + f(1)) = 1
令 f(1) = k
k * f(1 + k) = 1
f(1 + k) = 1/k

f(1 + k) * f(1/(1 + k) + f(1 + k)) = 1
f(1/(1 + k) + 1/k) = k = f(1)
1/(1 + k) + 1/k = 1
k = (1 + √5)/2 或 (1 - √5)/2

當 k = (1 + √5)/2，f(1 + k) = 2/(1 + √5) < 1 < k = f(1)，不合

引用:

原帖由 kobelian 於 2024-6-4 12:35 發表
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謝謝老師

#8
坐標平面上，橢圓\(\Gamma_1\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\)與雙曲線\(\Gamma_2\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=1\)有共同的焦點\((2,0),(-2,0)\)，且橢圓\(\Gamma_1\)的短軸長度和雙曲線\(\Gamma_2\)的貫軸長度相等，試求行列式\(\left| \matrix{m&n\cr p&q}\right|\)的值。
[解答]
n=p , 2c=4,c=2
m=n+2² =p+4
p-q=4 ,q=p-4
所求=m*q-n*p=(p+4)(p-4)-p² = -16

10.
設\(y=sinx\)的圖形與\(x\)軸、直線\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\)、直線\(\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}\)所圍成的區域繞\(x\)軸旋轉所得的旋轉體為\(S\)，試求旋轉體\(S\)的體積。
[解答]

3.
設矩陣\(A=\left[a_{ij}\right]_{2\times 2},B=\left[b_{ij} \right]_{2\times 2}\)中各元皆為0或1，試問相乘所得\(AB\)共有多少種可能？
[解答]
因為 \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)，
因此 \(\det(AB)\) 可能取值 \(-1,0,1\)，
對於 \(AB\) 的每一元只能取值 \(0,1,2\)，
若主對角線乘積為 \(4\)，則有 \(1\) 種副對角線取值 ；
若主對角線乘積為 \(2\)，則有 \(3\) 種副對角線取值 ；
若主對角線乘積為 \(1\)，則有 \(8\) 種副對角線取值 ；
若主對角線乘積為 \(0\)，則有 \(6\) 種副對角線取值 ；
因此共有 \(1+2\times3+5\times6+8=45\) 種不同的\(AB\)

\(A,B\)皆為\(n\)階方陣，若\((A+B)\)為可逆方陣，證明：\(A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A\)。
[解答]
由\( (A+B)^{-1}(A+B)=I_n \)，推知\( (A+B)^{-1}A+(A+B)^{-1}B=I_n \)，等式兩邊左乘A，得\( A(A+B)^{-1}A+A(A+B)^{-1}B=A \)...(1)
由\( (A+B)(A+B)^{-1}=I_n \)，推知\( A(A+B)^{-1}+B(A+B)^{-1}=I_n \)，等式兩邊右乘A，得\( A(A+B)^{-1}A+B(A+B)^{-1}A=A \)...(2)

由(1)及(2)，\( A(A+B)^{-1}B =A-A(A+B)^{-1}A=B(A+B)^{-1}A\)

第1題：
已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=3\)，且對任意正整數\(n\)均有\(a_{n+1}=4+a_n+\sqrt{1+16a_n}\)，則數列的一般式\(a_n=\)？
[解答]
\(\begin{array}{l}
{a_2} = 4 + {a_1} + \sqrt {1 + 16{a_1}}  = 4 + 3 + 7 = 14\\
{a_3} = 4 + {a_2} + \sqrt {1 + 16{a_2}}  = 4 + 14 + 15 = 33\\
{a_4} = 4 + {a_3} + \sqrt {1 + 16{a_3}}  = 4 + 33 + 23 = 60\\
{a_5} = 4 + {a_4} + \sqrt {1 + 16{a_4}}  = 4 + 60 + 31 = 95
\end{array}\)
注意到7,15,23,31成等差，因此可得
\[{a_n} = 4 + {a_{n-1}} + (8n-9)  = a_{n-1} + 8n-5\]
則可得
\[\begin{array}{l}
{a_1} = 3\\
{a_2} = {a_1} + 11\\
{a_3} = {a_2} + 19\\
{\rm{     }} \vdots \\
{a_n} = {a_{n - 1}} + (8n - 5)
\end{array}\]
連加可得
\({a_n} = \displaystyle{\frac{{[3 + (8n - 5)] \times n}}{2}} = 4{n^2} - n\)

1.
已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=3\)，且對任意正整數\(n\)均有\(a_{n+1}=4+a_n+\sqrt{1+16a_n}\)，則數列的一般式\(a_n=\)？
[解答]

請問第 7 題