引用:

原帖由 YangRB 於 2024-5-5 23:19 發表
自己廣義柯西不等式使用錯誤,抱歉耽誤大家時間

也沒用到"廣義柯西不等式"
是因為您左式(X²+Y²+Z²)(1²+1²+1²)=2(a+b+c)*3=6(a+b+c)
還不是固定數,右式也不是固定數,所以這樣無法用科西不等式
的等號成立情況

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-5 23:35 編輯 ]

謝謝老師解惑orz

請問4，9，10謝謝

先用柯西，發現critical point在(a,b,c)=(41/22, 31/22, -23/22)，不在範圍內，所以極值發生在boundary上。
而題目的又說a,b,c都正，是一個open的區域，所以沒有boundary，因此最大值不存在。
答案應該改成不存在。


我猜是出題老師筆誤，以下三個改法：
1. 改為a,b,c皆為實數，那答案就是柯西那個critical point，其值為11 。
(感覺不是本意，否則不用寫自然就是實數，而且只用柯西，太簡單了點)
2. 改為a,b,c皆為非負實數，那答案就在boundary上，
分成x=0或y=0或z=0下去討論，就變雙變數而已，極值發生在x=4/3, y=1/2, z=0的地方，
其值為611+12+23 
(應該是本意，只是答案有點醜。)
3. 「最大值」改為「最小上界」，答案跟上面一樣。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-6 09:52 編輯 ]

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原帖由 ingibitor0606 於 2024-5-6 00:32 發表
請問4，9，10謝謝

第4題也是慢慢討論，
若前19箱的球數是0,0,0,1,1,1,2,2,2,…,5,5,5,6，第20箱的球數6顆以上(總球數57以上)，則就沒有4箱一樣多，
因此只要證明56顆可以即可，用反證法
每種球數最多只能3箱，20箱最少也要0+0+0+1+1+1+2+2+2+⋯+5+5+5+6+6=57以上，
所以n=56時，必有4箱球數一樣多。所以答案為56。

9.
E=(1+E)/2+(2+E)/4+(3+E)/8+3/8
=>E=14
10.
(p^2+(1-p^2))(q^2+(1-q^2))>=所求^2
=>1>=所求^2

[ 本帖最後由 cut6997 於 2024-5-6 01:24 編輯 ]

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原帖由 ingibitor0606 於 2024-5-6 00:32 發表
請問4，9，10謝謝

這應該…有出過吧…

設正面機率為p，反面為1−p，
設an為連續丟n正面的次數期望值，則an=p(an−1+1)+(1−p)(an−1+1+an)
所以an=(1p)(an−1+1)。
以這題來說
a1=2(幾何分配，次數期望值為1p)，a2=2(2+1)=6，a3=2(6+1)=14，再下去就是3062126

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-6 09:56 編輯 ]

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原帖由 ingibitor0606 於 2024-5-6 00:32 發表
請問4，9，10謝謝

也是柯西
1=[p2+(1−p2)][q2+(1−q2)](p2q2+1−p21−q2)2 
等號成立在p=q=21。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-6 01:40 編輯 ]

法一、取log後，看成黎曼和，
原式=limnn12nk=n+1lnk−nlnn=limnn1nk=1ln(k+n)−nk=1lnn=  limnnk=1n1ln1+kn=01ln(1+x)dx=2ln2−1=lne4 
所以答案為e4。

法二、
其實上面這個我湊很久，考試時，比較無惱的應該是用Stirling Approximation
當n時，用ln(n!)=nlnn−n或用n!=2nenn 代入即可。
用ln(n!)=nlnn−n的話，分子所有的n都會跟分母的n消掉，這種題目一定都這樣，所以改寫成nln(n!)=lnn−1，下面我就直接n跟分母除掉，
一樣先取log
原式=limn2(ln(2n)−1)−(lnn−1)−lnn=e4 。
所以答案為e4

用n!=2nenn 代也可以，而且不用先取log，
原式==limn2e4nn1=limne4nn1=e4 。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-6 11:04 編輯 ]

我猜出題者應該是怕根號裡面會有負的
所以才設定a,b,c>0
但都沒去做檢驗:等號成立時
a,b,c會不會出現負號

順便給出題老師忠告(應該會看的到):
小弟我在出月考考卷,每題一定是至少算過三遍以上
如果題型可以,會再用Mathematica+Geogebra軟體驗證過
而如此重要的教師甄選考試,應該要更加謹慎才對

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-6 11:09 編輯 ]