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原帖由 ben1006123 於 2024-5-15 15:48 發表
想請問第11、12題和計算3，感謝

#12
在直角坐標平面上，圓\(x^2+y^2=1\)先被\(A=\left[\matrix{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}&\sqrt{3}\cr \frac{1}{2}&-3}\right]\)變換為曲線\(\Gamma_1\)，再被\(B=
\left[\matrix{cos8^\circ&sin8^\circ\cr sin8 ^\circ&-cos8^\circ}\right]
\left[\matrix{cos9^\circ&sin9^\circ\cr sin9 ^\circ&-cos9^\circ}\right]
\left[\matrix{cos10^\circ&sin10^\circ\cr sin10 ^\circ&-cos10^\circ}\right]
\left[\matrix{cos11^\circ&sin11^\circ\cr sin11 ^\circ&-cos11^\circ}\right]\ldots
\left[\matrix{cos66^\circ&sin66^\circ\cr sin66 ^\circ&-cos66^\circ}\right]
\left[\matrix{cos67^\circ&sin67^\circ\cr sin67 ^\circ&-cos67^\circ}\right]\)
變換為曲線\(\Gamma_2\)，求\(\Gamma_2\)的方程式為　　　。
[解答]
假設新座標為(X,Y)
由圖示可知X=x , [-1/ (2√3)]Y=y代入x²+y² =1
可得新方程式為X²+(1/12)*Y²=1

想請教填空題第7題的最小值，謝謝!

第 7 題
以知實係數二次方程式\(x^2-ax+b=0\)有兩實根\(\alpha,\beta\)滿足\(-1\le \alpha\le 0\)且\(1\le \beta\le 2\)，若\(a^2+b^2\)有最大值\(M\)與最小值\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　　。
[解答]
f(x) = x^2 - ax + b
畫圖可知
f(-1) = 1 + a + b >= 0
f(0) = b <= 0
f(1) = 1 - a + b <= 0
f(2) = 4 - 2a + b >= 0
畫出以上四個不等式的圖形，所求即是以原點為圓心的圓，其半徑長平方的最大與最小值

謝謝鋼琴老師的回覆!

想請問計算3

計算證明題3.
著名的Bernoulli不等式說，對於給定的正整數\(n\)，不等式「\((1+x)^n\ge 1+nx」在\(x\ge -1\)時恆成立。本題希望推廣此不等式。今設\(n\)是大於1的奇數。
(1)試證：恰有一個小於\(-2\)的實數\(x_n\)，使得不等式「\((1+x)^n\ge 1+nx\)」在\(x\ge x_n\)時恆成立。
(2)承(1)，試證：\(\displaystyle \lim_{\matrix{n為奇數\cr n\to \infty}}x_n=-2\)。
[解答]

整理了新竹中學填充題解答 供參

請教第 11 題，官方答案是否有誤？

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2024-8-19 17:23

請教計算第 1(2) 題
老師的證明看不太懂，第一句話就有點不知道從哪來的，請問要怎麼從題目想到從哪方面下手去證？

我是這樣思考 不確定有沒有瑕疵
Step1:已知ak的一般式 從結果去湊湊看 發現第一項保留
           從第二項開始的無窮等比級數 可以湊出答案
Step2:再試著湊左邊一開始的部分
           3^0=1,3^1>1, 3^2>1,3^3>1,...剛好可以和結果連接起來
有點類似分析法 從結果倒推的想法