第 2 題：

三點共線的情況有 \(12+4 = 16\) 種，

bb.png (13.23 KB)

2024-4-24 12:44

  

aa.png (12.04 KB)

2024-4-24 12:44

  
(順時針90度旋轉四次)

四點共線的情況有 \(4\) 種，

cc.png (12.2 KB)

2024-4-24 12:44

(順時針90度旋轉四次)

五點共線的情況有 \(12\) 種。
(五條水平線、五條鉛直線、兩條對角線)

所求機率＝\(\displaystyle \frac{\left(C^{25}_3-16C^3_3-4C^4_3-12C^5_3\right)\times 3!}{C^{25}_{3}\times 3!}=\frac{537}{575}\) 。

第 11 題：

螢幕擷取畫面 2024-04-24 130210.png (31.22 KB)

2024-4-24 13:03

先求 \(\displaystyle y=-x^2+4\) 的斜率為 \(-3\) 的切線：

\(\displaystyle y'=-2x=-3\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)，得切點為 \(\displaystyle (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})\)。

\(\Rightarrow k\) 的最大值為  \(\displaystyle 3\times\frac{3}{2}+\frac{7}{4}=\frac{25}{4}\)。

再求 \(x^2+y^2=4\) 的斜率為 \(-3\) 的切線：

\(\displaystyle \left|\frac{3\times 0+1\times 0+k}{\sqrt{3^2+1^2}}\right|=2 \Rightarrow -2\sqrt{10}\leq k\leq 2\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow k\) 的最小值為  \(\displaystyle -2\sqrt{10}\)。

謝謝老師，原來是三點共線漏了 \(4\) 條

老師好，彰化女中有更正答案，方便請老師抽換嗎？謝謝～


2024.04.24 weiye 補充：已將更正版答案附於首篇。

請教5、15、17、18，謝謝！

第 18 題
作 C’E 垂直 AB 於 E，作 C’H 垂直平面 ABC 於 H，作 DG 垂直平面 ABC 於 G
DG = 10√33
C’E = 15√3，C’H / C’E = √11 / 6，C’H = (5/2)√33
CC’ / CD = C’H / DG
CC’ = 15

第 17 題
先把橢圓視為半徑 5 的圓
此時 △PAB 面積最小時是正三角形，高 = 5 * 3 = 15，面積是 75√3

再伸縮 3/5 變回橢圓
當 a = 15 * (3/5) = 9 時，△PAB 有最小面積 75√3 * (3/5) = 45√3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-24 20:26 編輯 ]

引用:

原帖由 JJM 於 2024-4-24 18:53 發表
請教5、15、17、18，謝謝！

#5
Sn=∫ {0 to1}  [x^n-x^(n+1) ] dx= 1/(n+1)- 1/(n+2)
所求Σ {n=1 to ∞}  Sn
=Σ {n=1 to ∞}   [1/(n+1)- 1/(n+2)]
=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+.............
=1/2

#15
令k=log_0.6 (x)  ,則x=0.6^k   
( 0.216≦x≦1 =>  0≦k≦3 )
令原式=F(k)= (0.6^k) ^(k-2)^3 =0.6^[ k(k-2)^3]
當F'(k)=0 ,得k=1/2 ,2
當k=1/2時,F(1/2)=0.6^(-27/16) 有最大值

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-24 23:33 編輯 ]

請問面積最小時為正三角形是怎麼得知的？謝謝！

內切圓圓心和三頂點及三切點連線，令半徑為 r
△ABC = 六個小三角形面積和 = [cos(A/2) + cos(B/2) + cos(C/2)]r^2

即求：A + B + C = π，cos(A/2) + cos(B/2) + cos(C/2) 何時有最小值