1.
若\(\displaystyle f(n)=(n^2-2n+1)^{\frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\frac{1}{3}}\)，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{500}\frac{1}{f(2k-1)}=\)
。
(我的教甄準備之路 裂項相消，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
連結有解答，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872
3.
已知\(ABCD\)為正四面體，有一隻小蟲反覆在四個頂點之間移動，它從一個頂點爬行至另一頂點稱為一次，已知小蟲從一頂點爬行到任一相鄰頂點的機率均相同，今小蟲從\(A\)點開始出發沿稜線爬行至\(B\)、\(C\)、\(D\)其中一點，設\(a_n\)表示小蟲爬行\(n\)次後在\(A\)點的機率。可以寫出一般式\(a_n=\)
。
連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=4#pid5071
5.
在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{3&-4\cr 4&3}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，則\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值為
。
在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{4&-3\cr 3&4}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。令\(a=\overline{OP_1}\)。
(1)試求\(sin(\angle P_1OP_3)\)。
(2)試以\(a\)表示\(\Delta P_1P_2P_3\)的面積。
(3)假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，試求\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值。
106數甲
6.
卡當諾(Girolamo Cardano,1501-1576)所著的《偉大的技藝(Ars Magna，英譯為
The Great art)》書中有一題有趣的三角形面積問題：
There is a triangle the difference between the first and the second sides of which is 1 and between the second and third sides of which is also 1, and the area of which is 3. What is the largest side length? Ans：_______。
(我的教甄準備之路 三角形的面積，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)
[解答]
設三邊為\(a=x-1,b=x,c=x+1\)，最大邊長為\(c=x+1\)
利用海龍公式\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3x}{2}\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{3x}{2}\left(\frac{3x}{2}-(x-1)\right)\left(\frac{3x}{2}-x\right)\left(\frac{3x}{2}-(x+1)\right)}=3\)
\(\displaystyle \frac{3x}{2}\cdot \frac{x+2}{2}\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x-2}{2}=9\)
\(\displaystyle x^2(x^2-4)=48\)
\(x^4-4x^2-48=0\)
\(\displaystyle x^2=\frac{4\pm \sqrt{4^2+4\cdot 1 \cdot 48}}{2}=\frac{4\pm 4\sqrt{13}}{2}=2\pm 2\sqrt{13}\)(負不合)
\(x=\sqrt{2+2\sqrt{13}}\)
最大邊長\(c=x+1=\sqrt{2+2\sqrt{13}}+1\)
10.
已知\(\displaystyle tan10\theta=\frac{a_1\cdot tan\theta+a_3\cdot tan^3\theta+a_5\cdot tan^5\theta+a_7\cdot tan^7\theta+a_9\cdot tan^9 \theta}{a_0+a_2\cdot tan^2\theta+a_4\cdot tan^4\theta+a_6\cdot tan^6\theta+a_8\cdot tan^8\theta+a_{10}\cdot tan^{10}\theta}\)，則\(\displaystyle \sum_{k=0}^{10}|\;a_k|\;=\)
。
相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3350&page=1#pid21520
