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113新竹女中

回覆 20# Hawlee 的帖子

P(A→B→C) = (1/2) * [(1/3)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/3
先抽到 A 的機率是 1/2,之後若再抽到 A 則略去,從 B 和 C 中,抽到 B 的機率是 [(1/3)/(1 - 1/2)] = 2/3,之後若再抽到 B 則略去,最後只剩 C,抽到的機率是 1

E(A→B→C) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/3)] = 9
先抽 1 張,假設是 A,由於抽到 B 或 C 的機率是 1/2,所以接下來抽到 B 或 C 的期望次數是 2 次,假設先抽到 B,最後抽到 C 的機率是 1/6,期望次數是 6 次

所求就是上面六種情形的加權平均數

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113新竹女中填充題5

各位老師們好,想請問113新竹女中填充題5,謝謝各位老師。

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立體賓果

這題的第一小題應該是最難的,答案是不可能和局,
但我的討論方法過程太繁瑣,難以表達(一堆圖),
只能說考試之中不太可能答出這一題----除非有其他奇巧的(鴿籠原理)方法可快速得出矛盾。
社會企業大家一起來

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回覆 22# aizin 的帖子

第 5 題
小沂在平面上以下面丟骰子的方式前進:丟一公正六面骰子,出現n點就往前走n公尺,接著順時針轉60度。接著再繼續丟骰子,如上述方式前進以及轉向。則小沂丟五次骰子並走完後回到原來出發位置的機率為   (分母可以不用乘開)。
[解答]
先畫一個正三角形,在右下角截去一個邊長 a 的小正三角形,在左下角截去一個邊長 b 的小正三角形,會得到一個五邊形,這是走 5 次、順時針轉 60 度 4 次能回到出發點的走法

令第三次走的長度是 x,則 5 次走的長度分別是 x + b、a、x、b、x + a
x = 5,a = 1,b = 1
x = 4,a = 1 ~ 2,b = 1 ~ 2
:
:
x = 1,a = 1 ~ 5,b = 1 ~ 5

所求 = (1^2 + 2^2 + … + 5^2) / 6^5

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回覆 23# farmer 的帖子

計算證明題 2(1) 想了很久,一開始就如 farmer 所說,過程麻煩,難得表達。
昨天晚上睡覺躺在床上,想出一個相對比較滿意的版本。

使用歸謬法,假設存在和局。
考慮和局時,最終27件積木的擺放情形,將其看成一個立方體,並將其立在水平面上。
注意到立方的八個角落(頂點)中,兩兩最遠與中心成一直線。
接面我們以面為單位,考慮其各種可能(或不可能)

1、 此立方體的六個側面不會出現四個角落為相同積木的情形。
說明:若有四個角落為相同積木,如下圖所示,A表示同一種積木。此面上其餘5個位置任意放入一個A,均會使得AAA連線,但其餘五格為均放入另一種積木B,亦會使得BBB連線。
故此立方體的六個側面不會出現四個角落為相同積木的情形,此結果亦適用在其它過中心的水平面、鉛直面、與水平面夾 45° 的斜面。
A A

A A

2、 此立方體的六個側面不會出現四個角落為兩種相同積木各2個的情形。
說明:若有四個角落為兩種積木各兩個,則可以為以下兩種情形:
(1) 如下所示,此面中心,無論放入積木A或B,均會使得AAA或BBB連線,故此情形不會發生。
A B

B A
(2) 另一種情形如下所示,不失一般性假設立方體的中心為A。
A B

A B
那麼在立方體中,與此二A最遠的角落(頂點)必然為積木B,否則將與中心形成AAA連線,如下圖所示。



如此一來就出現一個側面四個角落均為相同的積木B,再由先前的推論知道,這個情況也是不可能的。

綜合以上1、2,我們知道,四個角落只能有剩下來的情形AAAB或ABBB。
依3A或3B的情形考慮其它位置,易得僅有以下兩類情形(及其對稱、旋轉)
A A B B A B
B B A B A A
A B A A B B
而此兩類似的側面是無法相接的,說明:
角落為AAAB,四個邊只有 AAB、ABA
角落為ABBB,四個邊只有 BBA、BAB
故此類情形無法有共用邊。

不失一般性假設,其中一面為
A A B
B B A
A B A
與其共用角落B的另兩個面就唯一決定了,如下圖



從最底下的水平面來看,未標出的角落角必然是B。
但立方體正中心無論是A或B,均會與此8個角落發生AAA連線或BBB連線。故得矛盾。因此不存在和局之情形。
(論證過程中沒有用到數量14、13,也就是說只要兩種合起來27個擺進去,必然有相同的三個共線。
網頁方程式編輯 imatheq

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整理填充題解答 供參

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113新竹女中填充題解答.pdf (1.11 MB)

2024-4-17 18:02, 下載次數: 957

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引用:
原帖由 Superconan 於 2024-4-12 11:56 發表
請問填充3、9
填充3 不定坐標的方法

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2024-12-21 20:54

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回覆 8# thepiano 的帖子

第9題參考解法

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2024-12-31 23:57

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第 10 題,用差比級數,蠻辛苦地做出來

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2025-1-1 01:24

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回覆 21# thepiano 的帖子

請問 the piano 老師
E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5

可以請你改用上面這個例子解釋 1/(1-1/6) 的意思嗎?
我自己是這麼想,第一次如果不是 C,就不會算在這個情況
所以第一次一定得是 C,才能列在此情況,所以 期望次數是 1

接下來,不能出現 B,不然也不會算在這個情況
所以接下來要考慮的是 可以出現 C 或 A
但是怎麼算這個期望次數會是 1/(1-1/6) ?

最後一步比較簡單,在A出現之後,就是單純出現 B 的期望次數
因為出現 B 的機率是 1/3,期望次數就是 3

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