謝謝老師回覆，補上修正的版本

第一步最後面筆誤   0<=1/2x<=1/2

[ 本帖最後由 CYC 於 2023-5-14 11:18 編輯 ]

填充14.
由直線系的參數式x=k+2021t,y=k+2022t,z=k+2023t.
知道所有直線剛好編織成平面E:x+z=2y
故所求=P至E的距離=|2-6-4|/根號6

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-12 08:54 編輯 ]

謝謝 laylay 老師。

請教填充4

x'=x+2
y'=y+1
=>(x'^0.5-2)^2+(y'^0.5-3)^2=16
x'+y'最大=(x'^0.5)^2+(y'^0.5)^2最大=(2^2+3^2)^0.5+4
成比例、畢氏定理、換變數即可

令 k=x-2 , x=k+2 , 原式 => k^6-k^3-5k^2-13k-10<0 有 -1,2 的根 => (k+1)(k-2)(k^4+k^3+3K^2+4k+5)<0
令 f(k)=k^4+k^3+3K^2+4k+5 , f`=4k^3+3K^2+6k+4 , f``=12k^2+6k+4 , D=6^2-4*12*4<0 => f`` 恆正 => f` 遞增
f`(-1)=-3<0,f`(0)=4>0 , f(k)的最小值發生在 f`(k)=0 => -1<k<0 , 此時  f(k)>5+4k+k^3>5-4-1=0 顯示  f(k) 恆正
故 原式 =>(k+1)(k-2)<0 => -1<k<2 => 1<x<4

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-15 10:13 編輯 ]

填充5.(另解)  (x-2)^6  + (x-2)^2 < x^3 + x . 令 y=(x-2)^2 , f(x)=x^3 + x

  注意到 f 為嚴格遞增， f(y) < f(x)  <=>  y < x  即 (x-2)^2 < x
  <=> 1 < x < 4.

[ 本帖最後由 piaxiom 於 2023-5-15 15:12 編輯 ]

所求=2022*(1-1/2023)^3
       =2022*(1-3/2023+3/2023^2-1/2023^3)接近 2022-3=2019 (計算機按出 2019.00296)

設 AB=3t,AC=t ,  3t+t>4,3t-t<4 => 1<t<2 , 周長之半=(3t+t+4)/2=2t+2,令k=t^2
則面積=ㄏ((2t+2)(2t+2-3t)(2t+2-t)(2t+2-4))=2ㄏ((k-1)(4-k))<=2*((k-1)+(4-k))/2=3 ,
故面積最大值=3 ,此時 t=ㄏk=ㄏ(5/2)

填充 3

用阿波羅尼斯圓的作法會非常簡潔