112鳳山高中數學科教甄試題及答案

4.
已知實數\(x,y\)滿足\(x+y=4\sqrt{x+2}+6\sqrt{y+1}\)，當\(x=\alpha\)、\(y=\beta\)時有最大值，求實數\(\alpha\)的值為　　　。

7.
設\([x]\)為不大於\(x\)的最大整數，試求\(\left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1000}\right]\)的末位數字。

若\(n\)是大於\((\sqrt{5}+\sqrt{2})^6\)的最小整數，試求\(n\)之值？
(100高師大附中代理，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4841)

想詢問第7題

我的做法為
補成[(3^0.5+2^0.5)^1000+(3^0.5-2^0.5)^1000]
展開為2(C(1000,0)3^500+...+C(1000,1000)2^500)
考慮
3的次方尾數為3,9,7,1
2的次方尾數為2,4,8,6
故4個一循環,500/4=125...0
取2(1+6)=14
4-1=3

請問是中間哪些項的個位數不是0嗎?

未命名.png (5.85 KB)

2023-5-9 19:40

[ 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-9 19:40 編輯 ]

k=125, C(1000,250)=1000*999*.....*751/(1*2*3*.....*250) , 750=5^3*6
上面中 751=750+1,752=750+2,.....1000=750+250 , 易知 C(1000,250) 並非 5倍數,就回答了您的問題
原式 要考慮 [ (5+2ㄏ6)^500+(5-2ㄏ6)^500] 易知答案是1
但是在C(1000,500)中，500=5^3×4, 501=500+1,...,625=500+125，625是5^4倍數，125只是5^3的倍數而就會造成C(1000,500)是5的倍數但非25的倍數。
令A=C(1000,r)=（1000/r)((1000-1)/1)((1000-2)/2).......((1000-(r-1))/(r-1))
當1000-r+1》625 ，即r《=375 時 A是5^？的倍數,就只需去看1000/r的表現即可。
但375《r《=500時，因分子有出現625,
625/375=5/3,就會在此多出一個5,請要注意，其他的5都會約分掉的，例如（1000-25）/25=39/1,（1000-75）/75=37/3,（1000-80）/80=23/2，由上述知道當r為偶數時就只有C(1000,250)=C(1000,750)這兩個是非5倍數，其餘都會是5的倍數。

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 07:48 編輯 ]

引用:

原帖由 laylay 於 2023-5-9 20:18 發表
k=125, C(1000,250)=1000*999*.....*751/(1*2*3*.....*250) , 750=5^3*6
上面中 751=750+1,752=750+2,.....1000=750+250 , 易知 C(1000,250) 並非 5倍數,就回答了您的問題
原式 要考慮 [ (5+2ㄏ6)^500+(5-2ㄏ6)^500] ...

感謝老師解惑

一.填五
將右式寫成x-2多項式
令t=x-2,再因式分解

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-10 15:13 編輯 ]

不妨設z最小=》z=1/(xy)<=1 => xy>=1
當y>=1時
左式-右式=x/y+xy^2+1/(x^2y)-x-y-1/(xy)
=((y^3-y+1)x^3-(y^2)x^2-x+1)/(x^2y)
其分母>0,其分子- 恆正或零的（x^2-1)(x-1）=x^2(y^2-1)(xy-1)>=0, 故分子>=0    =》  左式>=右式(等號成立於x=1,y=1,z=1時)，
至於y<1的話再請大家思考了！

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 15:03 編輯 ]

2-4強者我同事的做法

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2023-5-10 17:06

如果不進行代換，直接用原式
(x/y)*(x/y)*(y/z)=x^2/yz=x^3/xyz=x^3
也可以得到一樣的結果，可是因為xyz=1被藏了起來，會不容易看出來

[ 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-10 17:27 編輯 ]

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2023-5-11 00:08

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2023-5-11 00:09