填3另解:
依題意知x²+z²  =1-y²
由柯西不等式得
(x²+z² )(1² +1²)≧ (x+z)²
所以(1-y² )*2≧ (x+z)²
=> 2y²(1-y² )≧y²(x+z)²
-[2y²(1-y² )]^0.5 ≦ y(x+z) ≦ [2y²(1-y² )]^0.5-------(1)
又[2y²(1-y² )]^0.5 =[ -2(y²-1/2)²+1/2]^0.5---------(2)
由(1)&(2)得, 當y² =1/2時 , 所求y(x+z)有最大值(1/2)^0.5

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-7 23:50 編輯 ]

引用:

原帖由 chu 於 2023-5-7 21:54 發表
6654

Largrange Multiplier的話，只有一個Critical Point，還要再check它是極大還是極小比較嚴僅。
否則若題目改成問最小值，沒有check的話就會出錯了。

不過這是填充，其實直接賭它就是所求，十成都會對就是了。
不過我想，在高中端應該不會出到一定要用Largrange multiplier的題目。

這題應該是用算幾湊一下即可：
1=x2+y2+z2=(x2+2y2)+(2y2+z2)2xy2+2yz2=2(xy+yz) 
等號發生在x=z=12y=12 

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-8 11:02 編輯 ]

因為任兩個數，都可以運算出3的倍數。
(兩數若有一數是3的倍數就相乘，若兩數除以3餘數相同則相減即可，剩下一個是餘1另一個是餘2的情況，就兩數相加。)

因此，只要說明四個整數一定有兩個可以運算出8的倍數，然後剩下兩個運算出3的倍數，再相乘即可。

以下證明四個整數一定有兩個可以運算出8的倍數：
我們依除以8的餘數來分四類，{0,4},{1,7},{2,6},{3,5}
若有一類出現兩個：{1,7},{2,6},{3,5}這三類的就相加或相減，若是{0,4}出現兩個，就相乘，如此可以製造出8的倍數
若每類各一個：則就選{0,4}與{2,6}的數相乘，也會是8的倍數。

抱歉, 後來才發現前面鋼琴老師有貼了，證法一樣。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-7 23:54 編輯 ]

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-5-7 20:47 發表
計算1
原設計的方程式要改成缺x² 項,使用-4p^3-27q² 公式

有沒有x2做法都一樣。

設f(x)=(x−)(x−)(x−)
則f(x)=3x2+4x=(x−)(x−)+(x−)(x−)+(x−)(x−)
所求=()2(−)(−)(−)=81−f()f()f()21=81(32+4)(32+4)(32+4)21
=27(3+4)(3+4)(3+4)21=(−34−)(−34−)(−34−)21
=f(−34)=27113 

同樣方法可以推廣到更高次的多項式，可以參考「wiki: Discriminant」。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-7 23:46 編輯 ]

這題當然可以直接解，
不過，由出題者的數字，我猜原意應該是這樣解：
兩式相加得an+1+bn+1+1=8(an+bn+1)=8n(a1+b1+1)=23n+2
兩式相減得an+1−bn+1+7=2(an−bn+7)=2n(a1−b1+7)=2n+3
解聯立可得an=23n−2+2n+1−4

填充 10

這邊利用了 root test 比 ratio test 還強的方法來做
其他的請參考圖片~

填充 1

解釋為何沒有第二組解的部分

引用:

原帖由 fierthe 於 2023-5-8 00:30 發表
填充 10
這邊利用了 root test 比 ratio test 還強的方法來做
其他的請參考圖片~

正解…
我打字才打一半，你就貼了…

可以參考這本高微Mathematical Analysis: An Introduction

螢幕擷取畫面 2023-05-08 004729.png (18.25 KB)

2023-5-8 00:51

就相當於在驗證數列(n!)3(3n)! 的斂散性，
因為ratio test能驗證的出來的話，root test一定也可以，而且極限一樣。

所以limn(n!)3(3n)!(3n+3)!((n+1)!)3=limn(n+1)3(3n+1)(3n+2)(3n+3)=27
因此原題也是27。

不過，我覺得考這個沒意思就是了。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-8 01:13 編輯 ]

(a+b+c)−ab2+1+bc2+1+ca2+1=bb2+1ab+cc2+1bc+aa2+1ac21ab+21bc+21ac2131(a+b+c)2 
然後a+b+c=3代入即可。

計算證明 1

用了一些複數的運算性質也算出答案來了，甚至還寫出了六次多項式的除法，越除會越開心。
但你不會希望在考場上算出餘式有一次項來的，所以算是個欣賞用的解法囉！

IMG_0584.jpeg (465.08 KB)

2023-5-8 01:25

IMG_0585.jpeg (492.2 KB)

2023-5-8 01:25