一、填充題
6.
兩數列anbn，滿足a1=2，b1=1，且an+1=5an+3bn+7，bn+1=3an+5bn，nN，試求an的一般式。

thepiano所提到同類型的題目要一起準備，你有準備嗎？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7959

9.
ABCD為平行四邊形且點EF分別落在ABBC邊上。若AED的面積等於7、EBF的面積等於3、  CDF的面積等於6。則DEF的面積為何？

E,F分別在矩形ABCD的邊BC,CD上，若ABE,ECF,AFD的面積分別為3,1,2，則AEF的面積是　　。
(103桃園高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1949&page=1#pid11257)

10.
求極限limnn(n!)3(3n)! 的值。
[解答]
先計算取ln的極限
limnlnn(n!)3(3n)!=limnn1lnn!n!12n(n+1)(n+2)(n+n)12n(2n+1)(2n+2)(2n+n) 
=limnn1ln12n(n+1)(n+2)(n+n)+limnn1ln12n(2n+1)(2n+2)(2n+n) 
=limnn1nk=1lnkn+k+limnn1nk=1lnk2n+k 
=limnn1nk=1lnkn1+kn+limnn1nk=1lnkn2+kn 
=01lnx1+xdx+01lnx2+xdx 
寫成瑕積分
=lima0+a1lnx1+xdx+lima0+a1lnx2+xdx 
分部積分公式udv=uv−vdu 

u=lnx1+x ，du=x1+xx21(x)−(1+x)1=−1x(x+1) dv=1，v=1+x =lima0+lnx1+x(1+x)1a−a1(1+x)−1x(x+1)dx  =lima0+lnx1+x(1+x)1a+a1x1dx  =lima0+lnx1+x(1+x)1a+ln(x)1a  =lima0+2ln2−lna1+a(1+a)+ln1−ln(a)  =2ln2−lima0+(ln(1+a)−ln(a))(1+a)+ln(a)  =2ln2−lima0+ln(1+a)+aln(1+a)−ln(a)−aln(a)+ln(a)  =2ln2−0 =2ln2

u=lnx2+x ，du=x2+xx21(x)−(2+x)1=−2x(x+2) dv=1，v=2+x =lima0+lnx2+x(2+x)1a−a1(2+x)−2x(x+2)dx  =lima0+lnx2+x(2+x)1a+2a1x1dx  =lima0+lnx2+x(2+x)1a+2ln(x)1a  =lima0+3ln3−lna2+a(2+a)+2ln1−2ln(a)  =3ln3−lima0+(ln(2+a)−ln(a))(2+a)+2ln(a)  =3ln3−lima0+2ln(2+a)+aln(2+a)−2ln(a)−aln(a)+2ln(a)  =3ln3−2ln2 =ln27−2ln2

=2ln2+ln27−2ln2
=ln27
∵limnlnn(n!)3(3n)!=ln27 
∴limnn(n!)3(3n)!=27 






limnn1lnnnn!(2n)! ？
https://math.stackexchange.com/q ... sum-of-log-function

二、計算證明題
1.
若方程式x3+2x2+3=0之三根為，求(1−1)(1−1)(1−1)之值為？

感謝Ellipse提醒，公式要缺x2項
x3+px+q=0的三根為則(−)2(−)2(−)2=−4p3−27q2
證明，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=164&page=2#pid18936

3.
abc皆正，且a+b+c=3，試證ab2+1+bc2+1+ca2+123
中一中合作盃金頭腦第37次有獎徵答，檔案有解答

請問填充1

[ 本帖最後由 CYC 於 2023-5-8 00:02 編輯 ]

計算1
原設計的方程式要改成缺x² 項,使用-4p^3-27q² 公式

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-7 21:26 編輯 ]

引用:

原帖由 CYC 於 2023-5-7 20:28 發表
請問填充1，10

填充1
解出一個答案
(看3,4,5的畢氏組)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-7 21:11 編輯 ]

計算第 1 題
以  α、 β 、γ 為三根的方程式是 x^3 + 2x^2 + 3 = 0
以  1/α、 1/β 、1/γ 為三根的方程式是 3x^3 + 2x + 1 = 0，即 x^3 + (2/3)x + (1/3) = 0
這樣就可以用那個公式了

謝謝老師

Image 057.png (83.86 KB)

2023-5-7 21:54

計算第 2 題
先證：任意四個整數中，必可找到兩個整數經由相加、相減或相乘，成為 8 的倍數

(1) 四數中至少有一個 8 的倍數
選 8 的倍數和另一數相乘

(2) 四數均不為 8 的倍數
若有兩數除以 8 的餘數相同
兩數相減

若四數除以 8 的餘數均不同，由於除以 8 的餘數可分成 (1，7)、(3，5)、(2，4，6) 這三組，由鴿籠原理，此四數必至少有兩數在同一組
此三組中，(1，7)、(3，5)、(2，6)，兩數相加
(2，4)、(4，6)，兩數相乘


再證：任意兩個整數必可經由相加、相減或相乘，成為 3 的倍數

(1) 兩數中至少有一個 3 的倍數
兩數相乘

(2) 兩數均不為 3 的倍數
若兩數除以 3 的餘數相同，則兩數相減
若兩數除以 3 的餘數不同，則兩數相加

最後再把上面兩組數相乘，即為 24 的倍數

Image 058.png (79.46 KB)

2023-5-7 22:11