填充8
有四個平行平面：E1：3x+4y+5z=0、E2：3x+4y+5z=1、E3：3x+4y+5z=2及E4：3x+4y+5z=3，若一正四面體的四頂點A、B、C、D分別在E1、E2、E3及E4，則此正四面體和E2相交的截面積為　　　平方單位。
[解答]

第十題
求13C116434115+24C2164324114+35C3164334113++1618C16164116 之值　　　。
[解答]
考慮一個隨機變數X服從二項式分配，n=16，p=3/4
E(X)=12，Var(X)=3
E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=3+144=147
原式=E(X^2)+2E(X)=147+24=171

引用:

原帖由 rice 於 2023-5-4 09:40 發表
第十題
考慮一個隨機變數X服從二項式分配，n=16，p=3/4
E(X)=12，Var(X)=3
E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=3+144=147
原式=E(X^2)+2E(X)=147+24=171

厲害，可以想到這個。

引用:

原帖由 Dragonup 於 2023-5-4 06:00 發表
提供個人第4題的想法:

很好的組合解釋，
但後面的算法沒有說明，「易知」並不容易。

這其實是排容原理，舉例來說，此題的系數c，即為3個相異物可重複選5個排列，每個都要出現的方法數，
所以c=35−25C23+15C13=150。
一般情況，設nk=akCkn+ak−1Cnk−1++a0C0n
此時ai=in−Cii−1(i−1)n+Cii−2(i−2)n+

若只問其中一個系數，就用排容原理比較快，但這題全部系數都要算出，其實直接n代1,2,3,4,5比較快了。

一袋子中共有8顆球，其中5顆黑球、3顆白球，每一次從袋中隨機取出1球，取後不放回袋中，共取4次且排成一列，X表示取出的4球的變色數，如：若取出的4球為黑黑黑黑，則X=0，若取出的4球為黑白黑黑，則X=2，則X的期望值為　　　。
[解答]
單純列舉：
Case1:
前4個3黑1白時，白黑黑黑1+黑白黑黑2+黑黑白黑2+黑黑黑白1=6，後4個有C24=6種，所以66=36
Case2:
前4個1黑3白時，黑白白白1+白黑白白2+白白黑白2+白白白黑1=6，後4個只有全黑1種，所以61=6
Case3:
前4個2黑2白時，(黑黑白白1+黑白黑白3+黑白白黑2)*黑白對稱2=12，後4個3黑1白有4種，所以124=48

C3836+6+48=5690

有一個底半徑為6公分的圓柱體，被一個通過直徑AB且與底面夾30角的平面所截，試求所截出較小塊的立體體積為　　　立方公分。
[解答]
最近微積分剛好上到重積分
平面z=y3 截柱面x2+y2=36，其體積為
y3dA=0063r2sindrd=483 

請問第7題

第 7 題
設k為整數，若3xt−5dt=2x−k2023 有三個相異實根，則k有　　　個不同的可能值。
[解答]
等號左邊積分後是 |x - 5|(x - 5)/2 + 2
畫出 y = |x - 5|(x - 5)/2 + 2 的圖形
它與 y = 2x - 10 切於 (7，4)；與 y = 2x - 6 切於 (3，0)
故當 6 < 2023/k < 10 時，原方程式會有三個相異實根
k = 203 ~ 337

謝謝您~

老師想請教一下
您是怎麼得到等號左邊積分後是 |x - 5|(x - 5)/2 + 2
我是去絕對值分段來討論，積分寫得很繁瑣