考慮所有只用0123四種數字組成的序列，序列長度n是指該序列由n個數字組成(可重複出現)。令f(n)為在所有長度n的序列中連續兩個零(即00)出現的次數總和。例如長度3的序列中含有連續兩個零的有000，001，002，003，100，200，300，其中000貢獻2次00，其餘各貢獻1次00，故f(3)=8。求f(9)有　　　個正因數。
[解答]
這題直接看即可。
長度n的數列，有n−1的位置可以提供一次00，其它位置亂排，所以是(n−1)4n−2。

112學年數B第17題
考慮所有只用012三種數字組成的序列，序列長度n是指該序列由n個數字組成（可重複出現）。令a(n)為在所有長度n的序列中連續兩個零(即00)出現的次數總和。例如長度3的序列中含有連續兩個零的有000，001，002，100，200，其中000貢獻2次 00，其餘各貢獻1次00，故a(3)=6。則a(5)的值為　　　。
因為a(n)=(n−1)3n−2，所以題目問的a(5)=433=108

第 6 題
若擲四顆相同的公正骰子，當四顆點數乘積為完全平方數時停止，否則再擲一次，請問投擲次數的期望值為　　　。
[解答]
積為完全平方數的情形
四同：6 種
三同一異：8 種
二同二同：90 種
二同二異：48 種
四異：48 種
計 200 種

投擲一次，積為完全平方數的機率 = 200 / 6^4 = 25/162
所求 = 162/25

第 2 題
複數平面上，=zzC且z1−11，2=zzC且z−11，求12的區域面積為　　　。
[解答]
| z - 1 | <= 1，表示以 (1，0) 為圓心，半徑為 1 的實心圓

| 1/z - 1 | >= 1
| z || 1/z - 1 | >= | z |
| z - 1 | >= | z |，表示此點到 (1，0) 的距離大於到原點的距離，即直線 x = 1/2 左邊的部分

剩下的就簡單了

求13C116434115+24C2164324114+35C3164334113++1618C16164116 之值　　　。
[解答]
用2項式定理來湊，
(x+y)16對x偏微分得16(x+y)15
乘x3再對x偏微分再除以x，得16(3x(x+y)15+15x2(x+y)14),
然後x=43y=41代入，得16(343+15(43)2)=171

若n為大於5的正整數，且存在實數abcde使得n5=aC5n+bC4n+cC3n+dC2n+eC1n，則a+b+c+d+e之值為　　　。
[解答]
題目雖說n大於5，但這是n的5次方程式，若n大於5都對的話，所有的n都對，
因此，n代1,2,3,4,5，分別解出e=1, d=30, c=150, b=240, a=120。

引用:

原帖由 enlighten0626 於 2023-5-3 20:55 發表
請教2,6(有除了窮舉以外的方法嗎),10

若擲四顆相同的公正骰子，當四顆點數乘積為完全平方數時停止，否則再擲一次，請問投擲次數的期望值為　　　。
[解答]
骰子的點數1~6，不外乎質因數為2,3,5
x代表因數2，y代表因數3，z代表因數5
所以計算f(xyz)=(1+x+y+x2+z+xy)4展開後，指數都偶數的系數和即可。
先把y奇數次方的去除，2f(x1z)+f(x−1z)=2(2+2x+x2+z)4+(x2+z)4g(xz)
再把x奇數次方的去除，2g(1z)+g(−1z)=4((5+z)4+(1+z)4)+((1+z)4+(1+z)4)=4(5+z)4+3(1+z)4
最後再把z奇數次方去除，得864+324+44=200
投一次積為平方數機率為p=64200，幾何分配期望值為p1=64200

註：
從上面的論述，丟n骰子，積是平方數的方法數是86n+32n+4n。
同方法也可以算8面體骰、12面體骰……
代1, \omega與\omega^2可以算積是立方數的機率。
代1, i, i^2, i^3可以算積是四次方數的機率。
代primitive nth roots of unity的次方，就可以算積是n次方數的機率。

想請教16題
我是將AO向量 寫成向量AB 和AC的線性組合
AI也是 兩個向量再內積 但在考場這樣做有點慢
也容易做錯

不知道有沒有比較好的做法 謝謝

引用:

原帖由 pollens 於 2023-5-4 00:23 發表
想請教16題
我是將AO向量 寫成向量AB 和AC的線性組合
AI也是 兩個向量再內積 但在考場這樣做有點慢
也容易做錯
不知道有沒有比較好的做法 謝謝

\Delta ABC中，\overline{BC}=2,\overline{AC}=3,\overline{AB}=4，若O、I分別為\Delta ABC之外心及內心，求\vec{AO}\cdot \vec{AI}=　　　。
[解答]
只算\overrightarrow{AI}就好(其實是背公式)。
\displaystyle\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2+3+4}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{2+3+4}\overrightarrow{AC}
\displaystyle\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AO}\cdot\left(\frac13\overrightarrow{AB}+\frac49\overrightarrow{AC}\right) =\frac13\left(\frac12\bar{AB}^2\right)+\frac49\left(\frac12\bar{AC}^2\right)=\frac83+2=\frac{14}3

若n為大於5的正整數，且存在實數a,b,c,d,e使得n^5=aC_5^n+bC_4^n+cC_3^n+dC_2^n+eC_1^n，則a+b+c+d+e之值為　　　。
[解答]
提供個人第4題的想法:

謝謝以上老師的精闢回覆