引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 13:21 發表


ellipse只是用計算機驗證而已，
證明也很容易，因為餘弦定理就可以得到了，而且，即使「有向長度」，也是可以用同樣的方法。
chu的解法沒有錯，只是要再討論x,y,z有可能負的情況，依ellipse所列，會有四種情況要討論。 ...

請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎？

引用:

原帖由 Superman 於 2023-4-27 13:37 發表
請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎？

這要打不少字…我截chu的圖吧
先看第一個式子

a.png (4.04 KB)

2023-4-27 20:58

因為xy180 所以可以視為三角形的三邊，而且x, y的夾角90度，可以畫成下面的樣子

Screenshot from 2023-04-26 15-54-38.png (9.07 KB)

2023-4-27 20:58

另兩個式子亦同，然後把三個三角形一樣長的邊組合起來，就變成chu那個圖…
接下來就一樣了…

我猜你的疑問是餘弦定理的(條件)跟(結果的式子)是不是若且唯若的吧？

其實這方法我是第一次看到，覺得很神奇，
跟在教書的學生分享，他卻跟我說，這是基本的，他的講議有…

要拼得起來需要剛好角度和是整數圈，
考慮負數時不一定能拼起來吧？

另外不管能不能拼起來，
都還是要知道兩邊和大於第三邊，
三角形才真的存在吧？

引用:

原帖由 Superman 於 2023-4-27 21:26 發表
要拼得起來需要剛好角度和是整數圈，
考慮負數時不一定能拼起來吧？

不一定會剛好360度喔，但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊，或是往反向畫長度|x|，然後角度變成−。

引用:

另外不管能不能拼起來，
都還是要知道兩邊和大於第三邊，
三角形才真的存在吧？ ...

若x,y,z正，是會滿足的，從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a-b)^2=(b-a)^2
且c^2=a^2+b^2-2abcost<=(a+b)^2
所以由c>=a-b, c>=b-a, c<=a+b，可以知任兩邊和大於第三邊。
這應該教餘弦的時候會說明。

負的話也可以，只是往反向畫長度|x|，然後角度變成−，一樣任兩邊和大於第三邊。

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 22:11 發表

不一定會剛好360度喔，但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊，或是往反向畫長度|x|，然後角度變成−。


若有x,y,z正，是會滿足的，從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a ...

請問出現部分負數的情形，應該有拼不起來的吧？
不然2^3=8，應該有8組解，但軟體算實際是4組。

引用:

原帖由 Superman 於 2023-4-27 23:08 發表

請問出現部分負數的情形，應該有拼不起來的吧？
不然2^3=8，應該有8組解，但軟體算實際是4組。

不會拼不起來，因為角度就設計好剛好360度。

應該8組，但
正正正跟負負負一樣，圖形對原點對稱
正正負跟負負正一樣，圖形對原點對稱
正負正跟負正負一樣，圖形對原點對稱
正負負跟負正正一樣，圖形對原點對稱
所以可以只看四組…

晚點、或明天我重新寫個完整的答案好了…
有點懶的畫圖…

借用chu的圖

A.jpg (67.15 KB)

2023-4-27 23:25

(1) 若x>0, y>0, z>0圖形為

b.png (25 KB)

2023-4-27 23:28

於是OAB+OBC+OCA=3211=21(xy+2yz+23xz) 
推得2xy+yz+3xz=622 
(2) 若x<0, y>0, z>0圖形為

c.png (18.85 KB)

2023-4-27 23:55

於是OAB−OBC+OCA=3211=21(xy−2yz+23xz)=21(−xy−2yz−23xz) 
推得2xy+yz+3xz=−622 
(3) 若x>0,y<0,z>0圖形為

d.png (18.75 KB)

2023-4-28 00:04

於是OAB+OBC−OCA=3211=21(xy+2yz−23xz)=21(−xy−2yz−23xz) 
推得2xy+yz+3xz=−622 
(4) 若x<0, y<0, z>0圖形為

e.png (14.53 KB)

2023-4-28 00:12

於是−OAB+OBC+OCA=3211=21(−xy+2yz+23xz)=21(−xy−2yz−23xz) 
推得2xy+yz+3xz=−622 
(5) 若x<0,y<0,z<0，圖形跟(1)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是OAB+OBC+OCA=3211=21(xy+2yz+23xz)=21(xy+2yz+23xz) 
推得2xy+yz+3xz=622 
(6)若x>0, y<0, z<0，圖形跟(2)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是OAB−OBC+OCA=3211=21(xy−2yz+23xz)=21(−xy−2yz−23xz) 
推得2xy+yz+3xz=−622 
(7)若x<0,y>0,z<0，圖形跟(3)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是OAB+OBC−OCA=3211=21(xy+2yz−23xz)=21(−xy−2yz−23xz) 
推得2xy+yz+3xz=−622 
(8)若x>0, y>0, z<0，圖形跟(4)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是−OAB+OBC+OCA=3211=21(−xy+2yz+23xz)=21(−xy−2yz−23xz) 
推得2xy+yz+3xz=−622 

其實只要O點在三角形ABC外，就會是−622 ，在三角形ABC內，就會是622 。

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 23:18 發表


不會拼不起來，因為角度就設計好剛好360度。

應該8組，但
正正正跟負負負一樣，圖形轉180度
正正負跟負負正一樣，圖形轉180度
正負正跟負正負一樣，圖形轉180度
正負負跟負正正一樣，圖形轉180度
所以只有四組…

晚點、或明 ...

軟體的四組，沒有將正正正跟負負負合併為一組。

引用:

原帖由 Superman 於 2023-4-27 23:38 發表
軟體的四組，沒有將正正正跟負負負合併為一組。

應該8組，因為沒有給初始值，所以電腦會自己亂找。
ellipse用mathlab跑，找出4組，已經算好的了。
我用maple跑，只找出2組。
但初始值給的好，跑出比較多，這題應該可以全跑出來。
別的就不一定了，要看解是不是stable，這扯太遠了，詳細要看一下數值分析。

原題可化為x2+y2−2xycos90=(32)2y2+z2−2yzcos150=(13)2x2+z2−2xzcos120=(19)2
建構OA=xOB=yOC=z皆為有向長度(可正可負)。
且AOB=90BOC=150AOC=120 。
而OABOBCOCA也是有向面積。
於是OAB+OBC+OCA=3211 
所以21xysin90+yzsin150+xzsin120=21xy+2yz+23xz=3211 
推得2xy+yz+3xz=622