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112師大附中

112師大附中

請教填充第 2、7 題

112.04.26 補充數學科答案更正

填充第 8 題從 27 更正為 28
填充第 12 題從 X <= 13 更正為 0 <= X <= 13

備註:
1. 答案更正的公告不知道為何才過一個小時就下架了,還好有看到@@
2. 我發現學校第二次給的檔案,頁碼的字體跑掉,可能因為是不同電腦轉出來的。於是我編輯第一次的檔案,將這兩題答案改為更正後答案。
3. 當我編輯完,想要從校網重新下載檔案備份時,公告就被撤掉了,如果有老師有載到官網的檔案,希望可以分享上來,謝謝。
4. 謝謝 DavidGuo 老師發現試題答案有誤,若考生發現答案有誤,建議趕快打電話聯繫該校教務處,在這麼艱難的考試中,每一分都很重要!

附件

112師大附中正式教師甄選初試試題及答案_高中數學0426re.pdf (1.23 MB)

2023-4-26 14:45, 下載次數: 4269

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1.
計算sin241+sin219+sin41sin19的值為   

4.
有長方形紙板ABCDAB=6BC=23 。若將沿對角線AC摺起,使DD位置。由D作平面ABC的垂線DH,其垂足H恰好在AB邊上,此時平面ABC與平面ACD所夾的銳角為,試求tan=   
相關題目,https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

5.
已知xyz為三個實數且滿足x2+y2=18y2+3yz+z2=13x2+xz+z2=19,則2xy+yz+3xz=    

xyz0x2+xy+3y2=173y2+x2=5z2+xz+x2=8,求xy+2yz+3xz的值。
(102武陵高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139)

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回覆 1# Superconan 的帖子

第 2 題
已知ABC中,AB=5BC=9,且1tanA1tanB1tanC成等差數列,試求tan22B=   
[提示]
BC^2、CA^2、AB^2 成等差

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第 7 題
已知複數z1z2z3滿足z1=z2=z3=1z2z1+z3z2+z1z3=1,則z1+2z+3z3最大可能的值為   
[解答]
算兩兩相乘那邊,有使用到  zz=z2 的性質。

附件

341432068_949109706366136_8107833074786277252_n.jpg (525.85 KB)

2023-4-25 15:43

填充 7

341432068_949109706366136_8107833074786277252_n.jpg

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想問填充8的例子
我只有找出28的例子
感謝

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回覆 5# 年獸 的帖子

填充8
已知有36位學生參加考試,其平均為60分,標準差為5分,試問至少有多少人的成績會介於(50,70)區間?答:   人。
[解答]
該區間為±2σ
由 柴比雪夫(Chebyshev)定理 得:
P( μ-2σ < x < μ+2σ ) ≥ 1 - \frac{1}{2^2} = \frac{3}{4}
36 \cdot \frac{3}{4} = 27

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回覆 6# Lopez 的帖子

可以真的找出一個例子嗎?因為只有不等式不代表等號一定會成立,感謝

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回覆 1# Superconan 的帖子

第 7 題
已知複數z_1,z_2,z_3滿足\cases{\displaystyle |\;z_1|\;=|\;z_2|\;=|\;z_3|\;=1\cr \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1},則|\;z_1+2z_+3z_3|\;最大可能的值為   
[另解]
為打字方便,把 z_1、z_2、z_3 分別以 p、q、r 表示,其共軛複數分別是 p'、q'、r'

p/q + q/r + r/p = (p/q + q/r + r/p)' = (p/q)' + (q/r)' + (r/p)' = p'/q' + q'/r' + r'/p'

|p| = |q| = |r| = 1
p' = 1/p、q' = 1/q、r' = 1/r 代入上式可得
p/q + q/r + r/p = q/p + r/q + p/r
同乘以 pqr
p^2r + q^2p + r^2q = q^2r + r^2p + p^2q
(p - q)(q - r)(r - p) = 0
p = q 或 q = r 或 r = p

若 p = q
1 + p/r + r/p = 1
r/p = ±i
|p + 2q + 3r| = |p||1 + 2 ± 3i| = √[(1 + 2)^2 + 3^2] = √18

同理
若 q = r,|p + 2q + 3r| = √[(2 + 3)^2 + 1^2] = √26
若 r = p,|p + 2q + 3r| = √[(3 + 1)^2 + 2^2] = √20

|p + 2q + 3r| 的最大值為 √26

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第8題

引用:
原帖由 年獸 於 2023-4-25 20:57 發表
可以真的找出一個例子嗎?因為只有不等式不代表等號一定會成立,感謝
這題的確有你說的問題,題目出的不好,
第一,他問「至少」。答案寫至少1人,2人,邏輯上也沒有錯,反正至少嘛…

第二,不要吹毛求庛的話,假設我們知道這題在問「最少保證n人在介於(50,70)間,有例子存在,且可以說明n-1不滿足」。
用柴比雪夫算完,是大於等於27,若連續的話沒問題,但這是離散型的,所以邊界要check。
下面說明恰27是不可能的:
因為平均是60,假設27個人是60,剩9個人x_1,\dots,x_9跟60都要差10分以上,所以變異數在計算時就會多了10^2\times 9=900
此時標準差恰為\sqrt{\frac{900}{36}}=5,只要27個人的分數偏離了60,或是這9人分數離60再遠一點,都會導致標準差變大,也就是這是最緊的情況。
也就是這9個人不是50就是70,但他們的平均又要60,9是奇數,所以不可能。
(或嚴僅一點,60=\frac{50n+70(9-n)}9解得n=4.5,如果可以4.5人是50分,4.5人是70,那就可以,但人數是整數,所以不可能。)
所以此題答案應該是28,
例子:28個60分,4個人60+\frac{15}{\sqrt{2}},4個人60-\frac{15}{\sqrt{2}},這樣剛好36人平均60,標準差5。
(註:解8(x-60)^2=900,得x=60\pm\frac{15}{\sqrt{2}})。

可以提疑議了…
但不要主張答案28,要主張28以下的數都對,才不會害到寫27的人…

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第6題

將3組小括弧、2組方括弧、1組角括弧排成一列,各種括弧之間沒有先後使用的規定,但是每一組括弧的左括弧必須排在右括弧的左邊,而且每一組括弧中間如果有其他括弧,則這些括弧必須是完整的一組括弧;舉例來說:(<>)[()[]]()是一種合格的排列法,而<)(>[([])]()與(<)>[([])]()都是不合格的排列法。
請問以上的6組括弧,共有幾種合格的排列法? 答:   種。
[解答]
我們知道括號的問題跟Catalan Number有關,
但此題的括號數跟一般的括號不太一樣,
先所有的都看成小括號,

1組:(),1種
2組:()(), (()),2種
3組:()()(), (())(), ()(()), (()()), ((())),5種
4組:()()()(),(()())(), ()(()()), (((()))), (()()()), ((()())), ((()))(), ()((())), (())(()), (())()(), ()()(()), ()(())(), ((())()), (()(())),14種

可以視為Dick Path, 左括號就是往上走,右括號就往下走,不能低於水平線…
所以6組括號C_6=132,再乘\frac{6!}{3!2!1!}=60,所以是132\times60=7920

我一開始列錯了,還以為答案錯了…

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