學校公告的試題與解答

2.
ABC中，令BC=a，AC=b，AB=c。若abc成等差，試求tan2Atan2C之值。

ABC中，BC=aAC=bAB=c，若a、b、c成等差數列，則tan2Atan2C=　　　。
(105鳳山高中，https://math.pro/db/thread-2511-1-1.html)

16.
limn1n6nk=1[(n2+nk+k2)(n+k)3]= 　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

計算3
考慮一系列方程式x−1=0、x2−x−1=0、x3−x2−x−1=0、、xk−xk−1−xk−2−−x−1=0、，若已知：對任意正整數k，方程式xk−xk−1−xk−2−−x−1=0都恰有一個正實根。
(1)設方程式xk−xk−1−xk−2−−x−1=0的唯一正實根為k(k為任意正整數)，試證：無窮數列k為收斂數列。
(2)試證limkk=2。
[解答]
xk−xk−1−−x−1=xk−(xk−1++x+1)=xk−x−1xk−1=x−1xk+1−2xk+1
所以k為xk+1−2xk+1=0的一個正根。

設
fk(x)=xk+1−2xk+1
fk(x)=(k+1)xk−2kxk−1=(k+1)xk−1(x−(2−2k+1))
則fk(x)在(0,2-\frac{2}{k+1})遞減，在(2-\frac{2}{k+1},\infty)遞增
且f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\;f_k(2)=1

注意到當k>1時，
1<2-\frac{2}{k+1}<2

因為f_k(x)在(0,2-\frac{2}{k+1})遞減且f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,
所以在(0,2-\frac{2}{k+1})，f_k(x)=0恰有一根，即為1。

同時，因為f_k(x)在(2-\frac{2}{k+1},\infty)遞增且f_k(1)=0,\;f_k(2)=1,
所以在(2-\frac{2}{k+1},\infty)，f_k(x)=0恰有一根，此根必為\alpha_k，且
2-\frac{2}{k+1}<\alpha_k<2
同取極限，即可得極限值為2。

計算一
\Delta ABC中，\overline{AB}=\overline{AC}，D在\overline{BC}上且E在\overline{AD}上，若\angle BED=2\angle CED=\angle A，求證：\overline{BD}=2\overline{CD}。
[解答]

填充第 6 題
可以將 AC 分別與 AB, AD 內積以後，得到聯立方程式去解 x, y。
但是這樣有點暴力，想請問有沒有漂亮一點的方法？

填充6.
已知ABCD為圓內接四邊形，且\overline{AB}=2、\overline{BC}=3、\overline{CD}=4、\overline{AD}=4，若\vec{AC}=x\vec{AB}+y\vec{AD}，則x-y之值為　　　。
[解答]
令E為線段BD和AC的交點
由 線段AE:線段CE=2\times 4:3\times 4=2:3
線段BE:線段DE=2\times 3:4\times 4=3:8
推得向量AE=\frac{3}{11}向量AE+\frac{8}{11}向量AB和向量AE=\frac{2}{5}向量AC
向量AC=\frac{5}{2}(\frac{3}{11}AD+\frac{8}{11}AB)
最後整理一下即可算出

填充第 11 題
一圓周上有六個等分點按順時針順序依次記為A、B、C、D、E、F。考慮如下遊戲：開始時將一石子放在出發點A，令投擲一骰子，若擲出偶數點，則石子順時針前進兩個等分點；若出現奇數點，則石子順時針前進一個等分點。當石子恰好停在A點時，則遊戲結束。試問遊戲結束時，石子恰繞圓兩圈的機率為　　　。

請問這樣算，錯在哪？

F960090C-82B9-4934-83C6-D9CC45788BFB.jpeg (828.46 KB)

2022-6-19 19:07

您第一圈有包含踩到A點就結束了。
要考慮先採到F點，跨過A點踩到B點回到A點，
所以方法數為(C_{2}^{3}(\frac{1}{2})^3+C_{1}^{4}(\frac{1}{2})^4+(\frac{1}{2})^5)^2\times\frac{1}{2}

填充第 15 題
設x,y,z為實數，且滿足\cases{-2\le x+y+2z\le 3\cr -3\le 　y+2z\le 1\cr -4\le x+2y+5z\le 3}。當(x,y,z)=(p,q,r)時，2x-3y-8z有最大值為m，則序組(p,q,r,m)=　　　。

請問這樣算，有辦法求 p, q, r 嗎？

DCE69E8C-E78E-4FD6-B86C-A9511958AD62.jpeg (649.12 KB)

2022-6-19 21:54

您不是求出來了嗎?
當有最大值時，x+y+2z=3,y+2z=-3,x+2y+5z=-4解出來就可以了!