計算3
考慮一系列方程式\(x-1=0\)、\(x^2-x-1=0\)、\(x^3-x^2-x-1=0\)、\(\ldots\)、\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)、\(\ldots\)，若已知：對任意正整數\(k\)，方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)都恰有一個正實根。
(1)設方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)的唯一正實根為\(\alpha_k\)(\(k\)為任意正整數)，試證：無窮數列\(\langle\;\alpha_k\rangle\;\)為收斂數列。
(2)試證\(\displaystyle \lim_{k\to \infty}\alpha_k=2\)。
[解答]
\(x^k-x^{k-1}-......-x-1=x^k-(x^{k-1}+......+x+1)=x^k-\frac{x^k-1}{x-1}=\frac{x^{k+1}-2x^k+1}{x-1}\)
所以\(\alpha_k\)為\(x^{k+1}-2x^k+1=0\)的一個正根。
設
\(f_k(x)=x^{k+1}-2x^k+1\)
\(f_k^\prime(x)=(k+1)x^{k}-2kx^{k-1}=(k+1)x^{k-1}(x-(2-\frac{2}{k+1}))\)
則\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減，在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增
且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\;f_k(2)=1\)
注意到當k>1時，
\(1<2-\frac{2}{k+1}<2\)
因為\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\)
所以在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)，\(f_k(x)=0\)恰有一根，即為1。
同時，因為\(f_k(x)\)在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增且\(f_k(1)=0,\;f_k(2)=1,\)
所以在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)，\(f_k(x)=0\)恰有一根，此根必為\(\alpha_k\)，且
\(2-\frac{2}{k+1}<\alpha_k<2\)
同取極限，即可得極限值為2。
