引用:
原帖由 godofsong 於 2022-6-12 14:26 發表 
想請教第8題跟第15題，謝謝
其中，第15題的(m,n)我只有解出(6,5)、(5,6)兩組解，不知第三個解是？
選8:
ABC中，若三邊長
a
bc分別是
ABC 的對邊，且
abc成等差數列，則
\displaystyle tan\frac{A}{2}\cdot tan\frac{C}{2}的值為何？
(A)
\displaystyle \frac{1}{4} (B)
\displaystyle \frac{1}{3} (C)
\displaystyle \frac{1}{2} (D)
\displaystyle \frac{2}{3} (E)
\displaystyle \frac{3}{4}
[解答]
是考古題
假設圓I 是△ABC的內切圓,r為內切圓半徑
D,E,F分別是圓I在BC,CA,AB的切點
令AF=AE=x,BD=BF=y,CD=CE=z
因為a.b.c成等差,所以x+z=2y------------(1)
tan(A/2)*tan(C/2)=r² /(xz) -------------(2)
又r²=△² /s² =(x+y+z)(xyz)/ (x+y+z)² =(xyz)/ (x+y+z)
[△表示△ABC面積,s=(a+b+c)/2=x+y+z ]
代入(2)得所求=y/ (x+y+z) =y/ [y+(x+z)] =y/3y= 1/3 (by(1))
