計算 2.
已知對於每一個正整數n，有an0且ni=1ai3=ni=1ai2 ，試證：an=n。
[解答]
以數學歸納法證明 an=n 均成立。
當 n=1 時，易得  a1=1

假設 nk 時，an=n 均成立，其中 k 為某正整數

將左式記作 Ln, 右式記作 Rn

則當 n=k+1  時
Lk+1−Lk=Rk+1−Rk
a3k+1=ak+1(ak+1+n(n+1))
ak+1(ak+1−k−1)(ak+1+k)=0
因 ak+10，故 ak+1=k+1

由數學歸納法得，an=n 對所有正整數 n 均成立

第二部分 第 8 題
現有編號1、2、3、…、9的卡片9張，甲從其中任選3張，乙再從剩下的卡片選3張，並且依下列規則比大小：
第一回合：兩人手中最大號碼的卡片比較數字大小；
第二回合：兩人手中第二大號碼的卡片比較數字大小；
第三回合：兩人手中最小號碼的卡片比較數字大小；
每回合數字大者該回合獲勝，三回合獲勝較多者為贏家。則甲有兩回合獲勝的情況有　　　種。
[解答]
從 9 張牌中取 6 張牌有 C(9，6) = 84 種方法
3 張給甲，3 張給乙

取出的 6 張牌可由小到大排列

設取出的 6 張牌為 1、2、3、4、5、6
有以下 5 種情形，甲有兩回合獲勝

甲：6、5、1
乙：4、3、2

甲：6、4、1
乙：5、3、2

甲：6、3、2
乙：5、4、1

甲：5、4、3
乙：6、2、1

甲：5、4、2
乙：6、3、1

所求 = 84 * 5 = 420

看來我排組需要再加強，謝謝兩位老師的回應

第二部分，第 8 題，這裡我覺得有趣的地方是
甲三回合獲勝、二回合獲勝、一回合獲勝、零回點獲勝的情況數是一樣多的
也就全部情況數四分之一，即 C39C3641=420

謝謝解惑~
考試太急忘了連一次項的6a一起處理

請教填充第二部分的第 6 題

第二部分，第6題
已知ADO、OBC皆為正三角形，AO=2、BO=4且D、O、B三點共線，M、N、P分別為AO、BO、DC中點，則MNP面積=　　　。
[解答]
先將三角形切成三個部分，再利用共用底邊、共用高或共用頂角的方式及線段長比，計算面積比

OMN+ONP+OPM
=41OAB+31PBD+61PCA
=41OAB+61CBD+112DCA
=4123+6163+11233=473 

填充第二部分的第 6 題
已知ADO、OBC皆為正三角形，AO=2、BO=4且D、O、B三點共線，M、N、P分別為\overline{AO}、\overline{BO}、\overline{DC}中點，則\Delta MNP面積=　　　。
另解

謝謝！看懂了！
不過想請問最後的面積，是用 1/2 ab sinθ 算出來的嗎？（聽說這題好像國中生就可以解

角度到處都是 60°, 120°，國中生畫個高，也是可以算

樓樓上坐標、向量做起來超快