考古題不少 應該75~80進複試
計算1
若\(m\)、\(n\)均為正整數且\(m\ge 2\)。鋸齒數列\((m,n)\)為有\(n\)個齒，且每個齒從1開始往上至\(m\)後再往下至1。例如鋸齒數列\((3,4)\)如圖2所示
３ ３ ３ ３
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
１ １ １ １ １
由上圖可知鋸齒數列\((3,4)\)包含17個正整數且平均為\(\displaystyle \frac{33}{17}\)。若鋸齒數列\((m,n)\)的所有數字和為145，請找出所有可能之數對\((m,n)\)。
[解答]
即\(m,n\in \mathbb{N}\)，滿足\(m^2n-n=144\)的所有解
分解成\(n(m^2-1)=144\)，因數分解慢慢去找 ，即可得\((m,n)=(2,48),(3,18),(5,6),(7,3)\)
然後小弟(m,n)寫反....
填充6.
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴關係式\(\cases{a_1=3,a_2=\frac{7}{4}\cr a_n+\alpha=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\alpha),n\ge 2}\)，其中\(\alpha\)為常數，則\(a_{10}=\)？
[解答]
先求出\(\displaystyle \alpha =\frac{-1}{2}\)，回推\(\displaystyle a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}\cdot \frac{5}{2}+\frac{1}{2}\)
即可求出\(\displaystyle a_{10}=\frac{517}{1024}\)
填充7.
數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足關係式\(\displaystyle log_{n+1}a_n=1+\frac{1}{(n+1)log(n+1)}\)，若\(\displaystyle \frac{a_n}{n+1}<1.2\)，則自然數\(n\)的最小值為？
[解答]
求出\(\displaystyle a_n=(n+1)10^{\frac{1}{n+1}}\)，所求即滿足\(\displaystyle 10^{\frac{1}{n+1}}<1.2\)之最小的n
用對數計算一下可得n=12為最小
