第 16 題
設
A(−1
1
3)、
B(1
2
3)、
C(2
0
4)、
D(1
1
1),若平面
E包含
AB,且將四面體
ABCD切成兩部分,當平面
E與四面體所截出的截面
PAB的面積有最小值,點
P的坐標為
[解答]
截面積最小,表示 CD 上的點 P 到 AB 的距離最小
設 PQ 垂直 AB 於 Q
P(2 + t,-t,4 + 3t)、Q(1 + 2s,2 + s,3)
PQ^2 = (t - 2s + 1)^2 + (-t - s - 2)^2 + (3t + 1)^2
= 11t^2 - 2st + 5s^2 + 12t + 6
= 5(s - t/5)^2 + (54/5)(t + 5/9)^2 + 8/3
t = -5/9,s = -1/9 時,PQ 有最小值
此時 P(13/9,5/9,7/3)