請問老師k>=7之後如何判斷3*2^(x-2)無法分解成兩個差2的整數相乘??

由於要分成兩個差 2 的整數相乘，那兩個數要愈接近愈好

3 * 2^5，分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^3
兩個數差 2^2 * (3 - 2) = 4

3 * 2^6，分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^4
兩個數差 2^2 * (2^2 - 3) = 4

其餘的比照辦理

感恩，謝謝

您好，想借這一題來請教。
因為這題剛好是三次方後，y的次方皆為整數 (原x次方剛好一個餘2一個餘1)。
想請問如果像是 f(x)=x^12+6*x^11-1 這樣子的話，想求其12個根的三次方為根的方程式有辦法嗎？
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想了又想，就突然自己想出來了
令 y=x^3
f(x)=y^4+6x^(11/3)-1=0
--> (y^4-1)^3 = 6*x^11

[ 本帖最後由 L.Y. 於 2021-6-2 23:52 編輯 ]

一般都是這麼做，但其中有一些小細節，不是很確定、明白，
借此順帶提出，看看有沒有什麼好答案。
這樣的代換，會保證原本每個根的三次方，都是新的方程式的根，
但應該不保證新的方程式的 12 個根就是原 12 個根的三次方

裡面牽扯到的是重根問題，以下舉一個例子，比較容易明白我想說什麼

例如：方程式 \( x^2 = 4 \) 的兩根為 \( x = -2, 2 \)
若要找以此兩個根的平方為根的二次方程式，
仿造上面將等式的左右兩側平方，則得 \( (x^2)^2 = 16 \)
再把 \( x^2 \) 以 \( y \) 代換掉，則得方程式 \( y^2 = 16 \)
我們可以看到，\( y = 2^2 = (-2)^2 = 4 \) 都是新方程式的根，
但 \( y^2 = 16 \) 的解為 \( y = 4, -4 \)，其中 \( -4 \) 並不是原 x 方程式根的平方。
也就是說 \( y^2 = 16 \) 並不是我們要找的方程式。

重做一次代換，先將 4 移項，\( (x^2 -4)^2 =0 \) 代換之後寫成 \( (y-4)^2 = 0 \)
新方程式 y 的兩根為 4, 4。這組就是正確的達到我們的要求了。

以上兩個代換，還有 54# 的代換，有一些小細節上的不同，
哪個環節的不同，造就了結果的差異，如何完整的說明 #54 的結果必然正確?

寸絲老師您好，
謝謝您的想法，都沒注意到這個細節！
我還菜想不到什麼解釋

針對我自己的題目我算了一下三次方後會不會有重根的出現
算起來是沒有的，希望對這題有更嚴謹了一些

請教老師，這題之所以可以這樣做，是因為R是對稱圖形且知道中心位置嗎？

這是Pappus定理 只要知道R的中心位置都可以這樣做
只是該題圖形的中心座標很顯然就是了

不好意思，可以請鋼琴老師說明為什麼在（0,1）有解呀？不是應該y＝－1／3嗎？

這裡的 (0，1) 是指在 x = 0 和 1 之間

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-3-29 07:42 編輯 ]