第一題
高三上期末考結束後，大雄想請假在家讀書以全力準備學測，但學校規定「連續三日以上 (含三日)請假需請家長到校證明」，若大雄每天可以自由選擇上學或請假，而且他不想麻煩雄爸到校證明，那大雄本週一到週五出缺席的狀況有　　　種。
[解答]
全-不合(連三)
=2^5-3日請假-4日請假-5日請假
=32-3-4-1
=24
三日000xx x000x xx000
四日不合的00x00免家長來
五日00000

第二題
投擲一枚不均勻的硬幣，已知正面出現的機率是31，反覆投擲，設數列an定義如下：an=1，第n次投擲出現正面−1，第n次投擲出現反面 ，若Sn=a1+a2++an，則事件「S8=2」的機率為　　　。
[解答]
S8=a1+...+a8
相當於二正後面三正三反對消
C8-3(1/3)^5(2/3)^3
=448/6561

第三題
若一個正八面體的頂點恰好為一個正立方體各面的中心點(即各面對角線之交點)，設八面體的體積為a，正立方體的體積為b，求ba=　　　。(以最簡分數表示)
[解答]
令正立方體邊長為1
正八邊形相當於二個金字塔
正八邊形邊長相當於等腰直角三角形之斜邊
腰長=1/2
因此斜邊=根號2/2
正八邊形體積=2*正四面體=2*1/3底面積*高
=2*1/3*1/2*1/2
=1/6
因此a/b=1/6

111.1.5版主補充圖形

請教13和15

13.
坐標平面上，在圓：x2+y2=4上取兩點A、B，使此兩點在x軸上方，且摺回劣弧AB使其恰與x軸相切於(10)，則直線AB的直線方程式為　　　。
[解答]
找 x2+y2=4 和 (x−1)2+(y−2)2=4 的根軸 2x+4y=5

15.
有一個不公正的硬幣，投出正面的機率為32，投出反面的機率為31，若投擲50次，則硬幣出現2k次(k=01225)正面的機率為a1(b+1cd)，其中abcdN，且c為質數。求數組(abcd)=　　　。
[解答]
25k=0C2k50322k3150−2k 
=315025k=0C2k5022k 
=31502(2+1)50+(2−1)50 
=211+13050 

4.
設為方程式x5=i的一根，試求1−的最大值　　　。(請以asin表示，其中a0，為銳角)
[解答]
X^5=i=cos(pi/2+2kpi)+isin(pi/2+2kpi)
用隸美弗定理k=0,1,2,3,4
角度分別為18.90.162.234.306度
(速解)
一半角度9.45.81.117.153度
原式=2sin一半角度
sin是增函數因此最大值2sin81度
(推導)
用二倍角公式轉換成半角公式
絕對值=根號a平方+b平方
再代換在平方和根號對消
最後解出2sin一半角度

6.
若a，b，c表ABC之三邊長，且a，b，c為方程式x3−10x2+44x−14=0的三根，則ABC的面積為　　　。
[解答]
根與係數和海龍公式
a+b+c=10
ab+bc+ac=44
abc=14
s=1/2(a+b+c)=5
三角形面積=根號s(s-a)(s-b)(s-c)=9根號5
(PS)詳細的代換就自己試吧

7.
一個凸四邊形ABCD，已知AB=8，BC=6，CD=5，且ADC=ABC=90 ，則內積BCAD=　　　。
[解答]
相當於圓內接四邊形
AD=5根號3   AC
根據托勒密定理
BD=4+3根號3(二對邊相乘和=對角線相乘)
內積BC*AD=(BD+DC)*AD
答案27+12根號3  我算過一遍沒錯
應該也可以BC*(AB+BD)分解
直角的向量為0

請教9.12.14

填題 9.
相機的影像是光線投射在一片長方形的感光元件(CMOS)上，再轉換為電子訊號儲存在記憶體中，我們看到的相片為由此感光元件接收到之光線所呈現。已知相機在拍攝時，因為光線的折射與感光元件等因素會導致影像變形。假設有一款手機上的相機，在初始設計上影像會產生線性變形，即照片上的影像為真實影像產生旋轉、伸縮、推移等線性變換。如右圖，為了校正此變形，設定一個座標平面上的正方形 ABCD，其中O為原點，A(10)、B(11)、C(01)，以此相機拍攝此正方形後，相片上呈現平行四邊形OABC影像，其中A、B、C分別變換至A、B、C，且A2524725 、C7−11 。工程師發現此變形是影像先產生沿x軸方向的推移變換，然後再以原點O為中心旋轉角所導致，於是工程師利用軟體將照片上的影像坐標先旋轉−角，再經由一個二階方陣M線性變換為正確的影像坐標，則此方陣M為　　　。
[解答]
依題意知 為銳角，且 cos  =725
將 C 轉 − 回去，即 2524−7257252524−711=711 

故，原沿 x 軸方向的推移，將 C(01) 推至 (711) ，故此推移矩陣為 10711，其反方陣為 107−11

填充 14.
假設地球是完美的球形，沿著北緯60線將地球剖成兩塊，若小塊的體積；大塊的體積比=1:c(a+b3)2 ，其中abcN，且c為質數。求數組(abc)=　　　。
[解答]
依題意
c(a+b3)2=−234−x2dx234−x2dx 

計算積分得 −234−x2dx=33+316234−x2dx=−33+316 

故 c(a+b3)2=16−9316+93=256−243(16+93)2=13(16+93)2

故 (abc)=(16913)