請問老師第11題,訂完座標後,算出來的 h居然是複數根

麻煩老師指點迷津

填11.
平面的法向量不只一個

兩平面的夾角也不只一個

所以您算出來的 \( \vec{n_1}, \vec{n_2} \) 的夾角不一定是 \( \beta \) 也可能是它的補角

謝謝寸絲老師,知道哪裡出毛病了

請問版上老師第19題要怎模做啊

完全沒有頭緒

第19題
\(\begin{align}
  & \frac{3}{2!}-\frac{4}{3!}+\frac{5}{4!}-\frac{6}{5!}+\frac{7}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{n+2}{\left( n+1 \right)!} \\
& =\left[ \frac{2}{2!}-\frac{3}{3!}+\frac{4}{4!}-\frac{5}{5!}+\frac{6}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{n+1}{\left( n+1 \right)!} \right]+\left[ \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{1}{\left( n+1 \right)!} \right] \\
& =\left[ 1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{1}{n!} \right]+\left[ \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{1}{\left( n+1 \right)!} \right] \\
& =1 \\
\end{align}\)

謝謝鋼琴老師,想不到阿

真是太神奇了

請教第二題
用隸美弗
八個點都算得出來而P點夾角60度
真的得相減得8個線段？

第2題，
一個正八邊形，其頂點\(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7,A_8\)皆落在單位圓\(C\)上，點\(\displaystyle P\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)為圓\(C\)上一點，試求：\(\displaystyle \Bigg\vert\; \sum_{k=1}^8 \vec{PA_k}\Bigg\vert\;=\)　　　。
[解答]
題目不是要求八個「向量的長度」之和，而是要求「八個向量之和」的長度。

設圓心為O，則

PA1向量 + PA2向量 + ... + PA8向量

= (PO向量 + OA1向量) +  (PO向量 + OA2向量) + ... +  (PO向量 + OA8向量)

= 8 (PO向量)

得 所求 = | 8(PO向量) | = 8.

114.4.24補充
一個正十七邊形的頂點\(A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{17}\)皆落在單位圓上，點\(\displaystyle P\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\)為圓\(C\)上一點，試求\(2(\vec{PA_1}+\vec{PA_2}+\ldots+\vec{PA_{17}})=\)　　　。
(114臺北市陽明高中，https://math.pro/db/thread-3972-1-1.html)

請問老師們第9題能夠怎麼下手呢？
對於三角函數結合幾何性質實在是很不擅長。
用了正弦定理以及三角和180找到兩種alpha beta的關係，
4sin(beta)=cos(alpha/2)；alpha=90度+beta/2
有試著把兩條全部變成半角的方程式但實在太醜
不知道是不是想得太複雜

引用:

原帖由 L.Y. 於 2021-6-13 14:10 發表
請問老師們第9題能夠怎麼下手呢？
對於三角函數結合幾何性質實在是很不擅長。
用了正弦定理以及三角和180找到兩種alpha beta的關係，
4sin(beta)=cos(alpha/2)；alpha=90度+beta/2
有試著把兩條全部變成半角的方程式但實在 ...

這題是有設計過的,令AC=x
在△ABC中,由餘弦定理得x² =4² + 4² -2*4*4*cosα =32(1-cosα)-----------(1)
在△ACE中,由餘弦定理得1² =x² + x² -2*x*x*cosβ  =2x²(1-cosβ )------------(2)
將(1)代入(2)得 1=64(1-cosα)(1-cosβ)  ,所以(1-cosα)(1-cosβ)=1/64