L.
圓內接四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AC}\)交\(\overline{BD}\)於\(M\)，\(\overline{CD}=2\)，\(\overline{AD}=4\)，\(\overline{BC}=8\)，\(\overline{AB}=5\)，試問\(\overline{AM}:\overline{CM}\)的比值為　　　。
[提示]
△CMB～△DMA ，△CMD～△BMA
CM：DM = CB：DA = 8：4
AM：DM = BA：CD = 5：2

填充L：
圓內接四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AC}\)交\(\overline{BD}\)於\(M\)，\(\overline{CD}=2\)，\(\overline{AD}=4\)，\(\overline{BC}=8\)，\(\overline{AB}=5\)，試問\(\overline{AM}:\overline{CM}\)的比值為　　　。
[解答]
\( \displaystyle \angle{C} = 180^{\circ} - \angle{A} \) ， \( \displaystyle \overline{AM} : \overline{CM} = \bigtriangleup ABD : \bigtriangleup BCD \) (利用相似，且同底 \( \displaystyle \overline{BD} \) )
\( \displaystyle \frac{ \overline{AM} }{ \overline{CM} } = \frac{ \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \sin{A} }{ \frac{1}{2} \times 8 \times 2 \times \sin{C} } = \frac{5}{4} \)

謝謝 Cybercat老師  和koeagle老師指點解析

請教第W題，
我計算的答案為16，
答案公告為4。

W.
設\(a,b,c\)為\(x^3-3x^2+6x-1=0\)的三根，求
\(\left|\matrix{b^2+c^2&ab&ac \cr ab&c^2+a^2&bc \cr ac&bc&a^2+b^2} \right|=\)　　　。
[提示]
第一行提a,第二行提b,第三行提c,
再將a乘入第一列,b乘入第二列,c乘入第三列
化簡後得4a²b²c²=4(abc)²=4*1²=4

請問老師 M. & X.

M.
設\(k\)為常數，若方程式\((x+2)^2+(y+3)^2=(x+5)^2+(y+7)^2=(x+11)^2+(y+k)^2\)無解，求\(k=\)　　　。
[解答]
等式減 x² + y² ,等式恆成立:
4x + 6y + 13 = 10x + 14y + 74 = 22x + 2ky + 121+k²

4x + 6y + 13 = 10x + 14y + 74
6x + 8y + 61 = 0 ... (1)

10x + 14y + 74 = 22x + 2ky + 121+k²
12x + ( 2k - 14 )y + 47+k² = 0
6x + ( k - 7 )y + (47+k²)/2 = 0 ... (2)

比較(1)(2)的 y 係數
8 = k - 7
k = 15
(47+k²)/2 = (47+15²)/2 = 136
即 k 取 15 時, (2) 即:
6x + 8y + 136 = 0 與(1)為相互平行不相交的直線,故無解.
Ans: k = 15

填充M另解
設\(k\)為常數，若方程式\((x+2)^2+(y+3)^2=(x+5)^2+(y+7)^2=(x+11)^2+(y+k)^2\)無解，求\(k=\)　　　。
[解答]
(x,y)可視為(-2,-3) , (-5,-7) , (-11,-k)三點所形成的三角形外心
無解：面積為0，k=15

謝謝，列提行灌果然快多了。

X.
若\(111111+4444444444-66666=x^2\)且\(x>0\)，則\(x\)的各位數字和為　　　。
[解答]
令 y = 11111 , 則 9y + 1 = 10^5

x²
= ( 10y + 1 ) + ( 4y*10^ 5  + 4y ) - 6y
= 4y*10^ 5 + 8y + 1
= 4y*( 9y + 1 ) + 8y + 1
= 36y² + 12y + 1
= ( 6y + 1 )²

x = 6y + 1 = 66667
各位數字和 = 6*5 + 1 = 31