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原帖由 XINHAN 於 2020-5-5 09:37 發表
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[第10題修正]
求a的最大值應用柯西不等式
p+q+r=3
(p+q+r)(q+r+p)>=(pq+qr+pr)^2=9a^2
0<= a <=1 故最大值取1

您的柯西不對吧?

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原帖由 thepiano 於 2020-5-6 08:40 發表
您的柯西不對吧?

我發現問題了，抱歉抱歉，謝謝鋼琴大大指正

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原帖由 thepiano 於 2020-5-6 08:40 發表
您的柯西不對吧?

我剛剛趕快修正一下
3a = pq+qr+pr = 1/2 * [(p+q+r)^2 - (p^2+q^2+r^2)] = 1/2 * [9 - (p^2+q^2+r^2)] <= 1/2 * [9 - 3] = 3
a <= 1

註：
(p^2+q^2+r^2)(1^2+1^2+1^2) >= (p+q+r)^2 = 9
p^2+q^2+r^2 >= 3
-(p^2+q^2+r^2) <= -3

等腰直角\(\Delta ABC\)中，\(\angle A=90^{\circ}\)，\(D\)為\(\overline{BC}\)的中點，四邊形\(DEFG\)為正方形，且點\(F\)在\(\overline{AC}\)邊上。若\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\)，\(\overline{BC}=4\)，則正方形\(DEFG\)的面積為　　　。(化為最簡根式)

(朋友問的105北區第二次學測模擬考的題目，解完放上來分享一下。)
解答：

令 D(0,0), C(2,0), A(0,2), G(a,b)，則

E(-b,a) → F(a-b, a+b)

因為 F(a-b, a+b) 位在直線AC： x+y=2 上，

所以 (a-b)+(a+b)=2，得 a=1，

→ G(1,b)、E(-b,1)

因為 GC : BE = 1:√3，

所以 BE^2 = 3 GC^2

→ (b-2)^2 + 1^2 = 3(1^2 + b^2)

→ b^2 + 2b -1 =0

→ (b+1)^2 = 2

→ b = -1 +√2

所求正方形面積 = 1^2 + b^2 = 4-2√2

111.7.29
補充模擬考題目和答案