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109台中一中

109台中一中

繼續再努力奮鬥
回憶讓大腦奮戰
題目未照原順序
還有兩題無法了
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感謝 #stu2005131 老師的回覆
感謝 #swallow703 老師的回覆
(學校之後應該也會公告試題)
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weiye 於 109.04.20,13:44 補附上台中一中公告之試題及詳解。
另有官方公告如下:
​數學科 填充題甲 第9題,因「假設 a,b皆為正整數」,經研議後確實無法計算,故本題「不予採計分數,送分」。
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由於學校已經公告官方正式版
將記憶版手稿圖片刪除掉
若老師們可以的話
再把問題的題號改成正確題號
方便以後的老師閱讀方便~謝謝109/04/20,20:30
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含詳解第七題的最後算出來的答案有誤(過程無誤)110/02/26

附件

109台中一中試題(含詳解).pdf (710.35 KB)

2021-2-26 00:46, 下載次數: 11852

109台中一中答案.pdf (105.08 KB)

2020-4-20 13:45, 下載次數: 9120

109台中一中(試題).pdf (465.38 KB)

2021-2-25 23:32, 下載次數: 9153

純試題方便下載練習

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回復 1# Almighty 的帖子

第六題應該是求角度的sin值

第九題有a,b為正整數的條件

有一題是給一堆外積的外積&內積組合是7
然後問另外三個向量所圍的平行四面體體積

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回復 1# Almighty 的帖子

還少一題,
(8^x + 27^x) / (12^x +18^x) = 7/6
求 x = ?

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回復 1# Almighty 的帖子

15.
ABC的三邊長分別為abc,且a+b+c=12,求ab+ca+4bc+ab+9ca+bc的最小值為   
[解答]
A=b+caB=a+cbC=a+bc,則 A+B+C=a+b+c=12a=2B+Cb=2A+Cc=2A+B
原式 =2AB+C+B2A+2C+2C9A+9B=(B2A+B2A)+(C2A+9A2C)+(B2C+2C9B)
由算幾不等式知:原式2B2AB2A+2C2A9A2C+2B2C2C9B=2+3+6=11 
等號成立時 A:B:C=1:2:3,即 a=5b=4c=3

111.7,4補充
相關問題,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

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回復 4# czk0622 的帖子

ABC的三邊長分別為abc,且a+b+c=12,求ab+ca+4bc+ab+9ca+bc的最小值為   
[解答]
我是這樣算~(柯西路線)
s=2a+b+c=6
sa=xsb=ysc=zx+y+z=1812=6
=2x1(6x)+2y4(6y)+2z9(6z)
 =21x6+y24+z54(1+4+9) 
 21(3614)=11

By Cauchy
x6+y24+z54(x+y+z)(6+24+54)2 
x6+y24+z5436

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9.
已知直線L6x5y28=0交橢圓x2a2+b2y2=1(ab0,且ab皆為正整數)於兩點AC,且B(0,b)為橢圓\Gamma的頂點。若\Delta ABC的重心G恰為橢圓的右焦點F_2(c,0),其中c=\sqrt{a^2-b^2},則橢圓\Gamma的正焦弦長為   

橢圓那題應該有誤,a,b不能同時是整數。
不然就是我理解有誤

L:6x-5y-28=0,\,y=\frac{6x-28}{5},令橢圓與直線的兩交點為\left(\alpha,\frac{6 \alpha-28}{5}\right),\left(\beta,\frac{6 \beta-28}{5}\right)
兩交點與(0,b)之重心為(c,0)
 
由y座標:b+\frac{6 \alpha-28}{5}+\frac{6 \beta-28}{5}=0 => 5b+6\alpha-28+6\beta-28=0 => \alpha+\beta=\frac{56-5b}{6} ===(*)
由x座標:\frac{0+\alpha+\beta}{3}=c  ==由(*)==> c=\frac{56-5b}{18}
所以c為有理數。又a,b為正整數,且a=\sqrt{b^2+c^2},所以c亦為正整數。
b,c為正整數與c=\frac{5b+56}{18},可得b=4,c=2,所以a=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}

 
所以正焦弦長為\frac{16\sqrt{5}}{5}

但是a不是整數,與題目設定不合。
 
我用GGB跑了一下也是一樣的結果。
希望不是我理解錯誤。

附件

20200418_232246 (Custom).jpg (71.06 KB)

2020-4-18 23:27

20200418_232246 (Custom).jpg

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回復 6# 5pn3gp6 的帖子

我當下是沒印象有整數條件
不過有其他老師提供此資訊
或者等官方版釋出再確認

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回復 7# Almighty 的帖子

我印象蠻深刻的 應該是有的
因為我當下算出跟6樓一樣的結論 但因為看到要正整數解 所以覺得這答案是錯的了

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回復 7# Almighty 的帖子

確定有這條件
和 5pn3gp6 老師 算出一模一樣的結論
但湊不出長軸為正整數的條件

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想請問第2題.第5題

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