想起來了!!
是這題的類題，但數字忘記了...

註：此題是106年文華代理

請教填充第4題，謝謝

甲乙對戰 甲勝出的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
所以甲丙對戰 甲勝出的機率一樣為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
所以所求為\(\displaystyle \frac{1}{4}\)

應該是這樣

補一下\(\displaystyle \frac{1}{2}\)的過程
假設甲兩場勝出: 甲甲
3場:乙(甲甲)
4場:甲乙(甲甲)
5場:乙甲乙(甲甲)...以此類推
用無窮等比級數可以求出\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

第14題:
AE=b/ㄏ3,AF=c/ㄏ3,角EAF=A+60
EF^2=(b/ㄏ3)^2+(c/ㄏ3)^2-2*b/ㄏ3*c/ㄏ3*cos(A+60)
        =(b^2+c^2)/3-2bc/3*(cosA*1/2-sinA*ㄏ3/2)
        =(b^2+c^2)/3-(2bc*cosA)*1/6+(1/2*bc*sinA)*2/ㄏ3
        =(b^2+c^2)/3-(b^2+c^2-a^2)/6+ABC面積*2/ㄏ3
        =(a^2+b^2+c^2)/6+ABC面積*2/ㄏ3
同法可證DE^2跟DF^2結果會跟EF^2一樣,故DEF為正三角形
且此正三角形DEF的面積=ㄏ3/4*EF^2= ㄏ3/24*(a²+b²+c²)  + ABC面積/2
上面是往外作三個正三角形,若改為往內作三個正三角形,則角EAF=|A-60| , cos|A-60|=cos(A-60) , 再承上
可知此正三角形DEF的面積將改為 ㄏ3/4*EF^2= ㄏ3/24*(a²+b²+c²)  - ABC面積/2
上面兩個面積剛好相差一個三角形 ABC 的面積.

第 4 題
題意是每一場的贏者，下一場和另一位選手比賽嗎?

若是的話，分成以下兩種情形討論

(1) 第一場，甲贏

以下依序列出每一場獲勝者，且是甲獲勝的情形
甲、甲
甲、丙、乙、甲、甲
甲、丙、乙、甲、丙、乙、甲、甲
......

甲獲勝的機率 = (1/2)^2 + (1/2)^5 + (1/2)^8 + ......


(2) 第一場，乙贏

以下依序列出每一場獲勝者，且是甲獲勝的情形
乙、丙、甲、甲
乙、丙、甲、乙、丙、甲、甲
乙、丙、甲、乙、丙、甲、乙、丙、甲、甲
......

甲獲勝的機率 = (1/2)^4 + (1/2)^7 + (1/2)^10 + ......

所求 = 兩者相加