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107張進通許世賢數學競賽

107張進通許世賢數學競賽

5.
將\(\underbrace{555\ldots 5}_{100個} \times \underbrace{666 \ldots 6}_{100個}\)的乘積以十進位表示,求各位數字的總和=   

歷屆試題
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107年張進通許世賢數學競試-數學一試題.pdf (174.72 KB)

2023-5-15 19:54, 下載次數: 5537

107年張進通許世賢數學競試-數學二試題.pdf (178.66 KB)

2019-2-28 23:54, 下載次數: 6998

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回復 1# niklacage 的帖子

第 1 題
方程組\(\cases{x^2-y^2=3(xz+yz+x+y)\cr y^2-z^2=3(yx+zx+y+z)\cr z^2-x^2=3(zy+xy+z+x)}\)的解\((x,y,z)\)共有   組。
[解答]
(x + y)(x - y) = 3(x + y)(z + 1)
(y + z)(y - z) = 3(y + z)(x + 1)
(z + x)(z - x) = 3(z + x)(y + 1)

(1) x + y、y + z、z + x 三者均為 0
可解出 (x,y,z) = (0,0,0)

(2) x + y、y + z、z + x 恰有兩個為 0
可解出 (x,y,z) = (1,-1,1)、(1,1,-1)、(-1,1,1)

(3) x + y、y + z、z + x 恰有一個為 0
可解出 (-3,3,9)、(9,-3,3)、(3,9,-3)

(4) x + y、y + z、z + x 三者均不為 0
可解出 (x,y,z) = (-1,-1,-1)

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第2題

所求即 111...111 (100 個 1) * 333...333 (100 個 3) 以十進位表示的各位數字總和。


令 A =  999...999 (100 個 9),先考慮 A²,再將之除以 9 再除以 3,以利觀察其各位數字之規律。


A² = (10¹⁰⁰-1)² = 10²⁰⁰- 2*10¹⁰⁰ +1 = 999...999 (99 個 9) 8 000...000 (99 個 0) 1

除以 9 得:  111...111 (99 個 1) 0 888...888 (99 個 8) 9

再除以 3 得: 37037...037 (33 個 37) 0 296296...296 (33 個 296) 3

所求 = 33*27 + 3 = 894

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感謝指導。

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#回覆樓主

小弟第一眼的想法 剛好有空寫一下是有規律的 淺見僅供參考
ps:cefepime大解的真完美

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73D4BA12-2D86-4A30-A8BC-29C16B9AFFA0.jpeg (581.16 KB)

2018-12-17 00:10

73D4BA12-2D86-4A30-A8BC-29C16B9AFFA0.jpeg

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107數學一問題請教。

您好,想請教一下當年度的數學一的第4題,答案為46度,感謝!

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回覆 6# LS0722 的帖子

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請教數學一試題的第16題

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截圖 2022-10-14 下午10.24.32.png (214.42 KB)

2022-10-14 22:26

截圖 2022-10-14 下午10.24.32.png

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回覆 8# enlighten0626 的帖子

由圓冪定理,易知半徑為 5/2

角 CBA 是優弧 BF 之半,角 BDF 是劣弧 BF 之半
由題目的條件,可求出劣弧 BF 為 90 度

剩下的就相似比一比,答案應是 750/91

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回覆 8# enlighten0626 的帖子

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