複選題9.
若\(\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}\)，求\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}\)的值？(A)1　(B)\(-1\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
[解答]
給老師您參考(多選九)
\(\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}=\frac{2a}{2a+2b+2c}=\frac{a}{a+b+c}=t\)
\(\cases{b+c=2at\cr a-c=2bt \cr a-b=2ct}\)
\(\cases{(-2t)a+b+c=0\cr a+(-2t)b-c=0 \cr a-b-(2t)c=0}\)
除了\((0,0,0)\)以外還有其他解(分母\(a,b,c\ne 0\))
\(\Delta =\Bigg|\; \matrix{-2t&1&1 \cr 1&-2t&-1 \cr 1 &-1&-2t}\Bigg|\;=0\)
\((t+1)(8t^2-8t+2)=0\)
\(\displaystyle t=-1\)或\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

有誤再請各位大師鞭策

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2018-5-17 00:15

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2018-5-17 00:15 編輯 ]

謝謝阿基鴻德老師

請教填充2，謝謝

填充2.
有一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，若\(a_1=0\)，且\(a_{n+1}-1=a_n+2\sqrt{1+a_n}\)，\(n=1,2,3,\ldots\)，求\(a_{30}=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{a}_{n+1}}-1=a{}_{n}+2\sqrt{1+{{a}_{n}}} \\
& {{a}_{n+1}}+1=a{}_{n}+1+2\sqrt{1+{{a}_{n}}}+1={{\left( \sqrt{a{}_{n}+1}+1 \right)}^{2}} \\
& {{\left( \sqrt{a{}_{n+1}+1} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{a{}_{n}+1}+1 \right)}^{2}} \\
& \sqrt{a{}_{n+1}+1}=\sqrt{a{}_{n}+1}+1 \\
& \cdots \cdots  \\
\end{align}\)

謝謝piano老師，這技巧趕快記下來

複選題 9 另解:  重複利用"加比"

令  (b+c) /2a = (a-c) /2b = (a-b) /2c = k，則所求 a /(a+b+c) = k

1. 若 a+b 與 a+c 不全為 0，則利用第1，2 或 1，3 項"加比"，得 k = 1/2

2. 否則，b = -a 且 c= -a，代入得 k = -1

複選題9.
若\(\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}\)，求\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}\)的值？(A)1　(B)\(-1\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
[解答]
供大家參考，請大家指教。
\(\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}=k\)
\(\displaystyle a=\frac{b+c}{2k},b=\frac{a-c}{2k},c=\frac{a-b}{2k}\)
\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}=k\)
\(\cases{\displaystyle a+b+c=\frac{a}{k}\cr b+c=2ak}\)
\(\displaystyle a+2ak=\frac{a}{k}\)
\(2k^2+k-1=\)
\((2k-1)(k+1)=0\)
\(\displaystyle k=\frac{1}{2}\)或\(k=-1\)

107全國高中教甄聯招(詳解整理)

最後一題，答案有誤！(極限的計算有誤)
證明請見 Rudin 的高微 P.63~P.64