參考附件

4.
為方程式x4+x3+1=0的四個根，試求 111111111111=　　　。
[解答]
所求=abcd-(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+2(a+b+c+d)-3   (直接 觀察 abcd 的係數 = 1 ,abc 的係數 = 0 ,ab 的係數 = 1 0 = -1
           =   1   -     0     +2 (     -1     ) -3 = -4                      a 的係數 = 0 1 1= 2         常數項=0111 =3111=3 1 1 1=3(-1)=-3
                                                                                                          1 0 1                           1011   3011   0-1 0 0
                                                                                                          1 1 0                           1101   3101   0 0-1 0           
                                                                                                                                             1110   3110   0 0 0-1
                                                                                         推廣 :  係數 = 1, 0 ,-1, 2 ,-3, 4 ,-5, 6 .........

5.
化簡340+1113+340−13= 　　　。
[解答]
    令所求  x =a+b ,  由 a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)  得 80=x^3-9x => (x-5)(x^2+5x+16)=0
      故所求 實數 x = 5

11.
abcR，a+b+c=0，abc=100，若a、b、c三數中最大的數為a，試求a的最小值為　　　。
[解答]
a 為最大值 => a>0  ,  b+c=-a , bc=100/a => (b-c)^2= (b+c)^2-4bc=(a^3-400)/a>=0 => a>=20^(2/3) 為所求
       此時 b=c<0<a 符合 a 為最大值的條件

12.
正方形ABCD中一點P，已知PA=7、PB=3、PC=5，求此正方形之面積為　　　。
[解答]
    令 AB^2=BC^2=x 則 cos(PBC)^2+cos(PBA)^2=1 =>
        ( x+3^2-5^2)^2+(x+3^2-7^2) ^2=2^2*3^2*x  =>  (x-58)(x-16)=0 , 所求=x=58 (16不合)
另法 : 以B為軸心將ABP旋轉90度至CBQ 則PQ=3ㄏ2,角BPQ=45度 COS(QPC)=(18+25-49)/(2*3ㄏ2*5)=-1/(5ㄏ2)
           SIN(QPC)=7/(5ㄏ2) ,
           所求=BC^2=9+25-2*3*5*COS(BPC)=34-30(CC-SS)=34-30 [ (1/ㄏ2)*(-1/(5ㄏ2))-(1/ㄏ2)*(7/(5ㄏ2)) ] = 58


16.
[x]表示不超過x的最大整數值，例如：[28]=2、[−28]=−3，已知x滿足[x+19100]+[x+20100]++[x+91100]=546，試求：[100x]=　　　。
[解答]
  共有 73 個 [ ] , 546/73=7....35 故後面35 個 [ ] 都是 8 即 [x+0.56]=7  ,  [x+0.57]=8 =>x=7.43....=> [100x]=743

計算1
角APC=角EPF=135度
設AF為x
tanAEB=2+x/2
tan(FCB)=tan(AEB-45)=2/3
解得x=6
矩形面積=6*10=60

填充10
過A點作L2垂線交L1於D點，L3於E點
設AB=x=AC
xCosDAB=2
xCosEAC=6=xSinDAB

CosDAB^2+SinDAB^2=1
得x^2=40
三角形ABC面積=20

[ 本帖最後由 empty 於 2018-4-22 08:30 編輯 ]

想請益填充2 為什麼不用考慮負的因數呢
我的想法是 先移項xy=520(x+y)再整理成(x-520)(y-520)=520*520=2^6  *  5^2  * 13^2
故正因數有(6+1)(2+1)(2+1)=63
考試當下我覺得除了x=0 y=0以外還有負的因數 所以我又乘以2了QQ

題目有說 x 和 y 是正整數

謝謝鋼琴老師 我大概理解了 一個可以是正的 但另一個就會比0還小
ex x=260 y= - 520就會是 (- 260)*( - 1040) 哈哈 想太多了＝ ＝

考試當下我也在考慮負的因數，好在舉了例子有發現不合

我忘記報名了><  但是還是來分享一下做法

[ 本帖最後由 z78569 於 2018-4-22 17:39 編輯 ]

填充9

填充題
3.
空間中有20個相異的平面，最多可以將空間分割成　　　個區域。
[解答]
C020+C120+C220+C320
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4597

7.
三次曲線y=x3+ax2+1，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數a的範圍為　　　。
[解答]
100楊梅高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118

9.
ABC中，AB=10，M為AB中點，ABC內切圓恰將線段CM三等份，試求ABC面積=　　　。
106新竹高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2727&page=1#pid16747

10.
已知L1、L2、L3為三平行直線，且∠BAC=90。若AB=AC，且L1與L2的距離為2、L2與L3的距離為6，試問：ABC的面積=　　　。

相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6230

12.
正方形ABCD中一點P，已知PA=7、PB=3、\overline{PC}=5，求此正方形之面積為　　　。
[提示]
建中通訊解題第17期

14.
已知p為質數，且p^3+2p^2+p恰有42個正因數，試求：所有符合p值之最小值為　　　。
[解答]
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1122&page=2#pid10125

16.
[x]表示不超過x的最大整數值，例如：[2.8]=2、[-2.8]=-3，已知x滿足
\displaystyle [x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\ldots+[x+\frac{91}{100}]=546 ，試求：[100x]=　　　。
1991AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_6

計算題
1.
如圖，點E、F分別在矩形ABCD的邊\overline{BC}、\overline{AB}上，已知\overline{BF}=4，\overline{BE}=2，\overline{CE}=4，\overline{AE}與\overline{CF}交於點P，且∠APC =∠AEB +∠CFB，則矩形ABCD的面積為何？
[提示]
建中通訊解題第91期