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107新竹高中(記憶版)

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這個方法在沒有絕對值的時候可以應用
有絕對值的時候  要如何改進才能使用

[ 本帖最後由 wuha0914 於 2018-4-16 17:07 編輯 ]

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2018-4-16 17:00

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計算題 4   印象中有看過如下方法:


所求 = ∑(k=0 to n) [ 1/(k+1) ] C(n,k) p^k * q^(n-k)   [ 在此 q = 1 - p ]


由形態聯想到 1. 二項式定理  2. 反導函數,於是考慮:

f(t) = (pt + q)ⁿ = ∑(k=0 to n) C(n,k) p^k * q^(n-k) * t^k

取反導函數得:

[1/p(n+1)] (pt + q)ⁿ⁺¹ = { ∑(k=0 to n) [ 1/(k+1) ]*C(n,k) p^k * q^(n-k) * t^(k+1) } +  qⁿ⁺¹/p(n+1)

比較所求式,只要 t = 1 代入即可:

所求 = (1- qⁿ⁺¹) / p(n+1) = [ 1- (1 - p)ⁿ⁺¹ ] /  p(n+1)



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謝謝鋼琴老師

針對計算5

還是鋼琴老師的一開始的方法好懂!

原來是我把題目看不懂了。

謝謝。

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回復 15# thepiano 的帖子

請教老師這題是如何計算的呢?^_^

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回復 32# cefepime 的帖子

您的 方法滿棒的  f(t)=(pt+q)^n
如此一來 令 g(t)=f的二重積分=[ (pt+q)^(n+2)-(n+2)(pt)*q^(n+1)-q^(n+2) ] / [ p^2*(n+2)(n+1) ] (必須讓 g(t)為t^2 的倍式)
則 E(1/[(X+1)(X+2)] )=g(1)=[ 1-(n+2)p*q^(n+1)-q^(n+2) ] /  [ p^2*(n+2)(n+1) ]
令 h(t)=f的三重積分=[ (pt+q)^(n+3)-C(n+3,2)(pt)^2*q^(n+1))-(n+3)(pt)*q^(n+2)-q^(n+3) ] / [ p^3*(n+3)(n+2)(n+1) ] (必須讓 h(t)為t^3 的倍式)
則 E(1/[(X+1)(X+2)(X+3)] )=h(1)=[ 1-C(n+3,2)p^2*q^(n+1)-(n+3)p*q^(n+2)-q^(n+3) ] /  [ p^3*(n+3)(n+2)(n+1) ]


令m(t)=f(t)的微分=np(pt+q)^(n-1) , 則 E(X)=m(1)=np
令r(t)=f(t)的二重微分=n(n-1)p^2*(pt+q)^(n-2) ,
則 E(X(X-1))=r(1)=n(n-1)p^2  =>VAR(X)=E(X^2)-E(X)^2= E(X(X-1))+E(X)-E(X)^2=n(n-1)p^2+np-(np)^2=npq
E(X(X-1)(X-2))=n(n-1)(n-2)p^3 => E(P(X,k))=P(n,k)*p^k

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-4-17 12:28 編輯 ]

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第八題我是這麼算的,不知道有沒有哪邊有錯誤?

\(\omega=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\)為\(z^7=1\)的一個複數根

\(z^7-1=0\)可以分解成\((z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0\)

所以\((\omega-1)(\omega^6+\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1)=0\)

\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+|2-\omega^3|^2+|2-\omega^4|^2+|2-\omega^5|^2+|2-\omega^6|^2\)展開可得

\(24-3(\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)=27-3(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)\)

因為\(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6=0\)

所以\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+|2-\omega^3|^2+|2-\omega^4|^2+|2-\omega^5|^2+|2-\omega^6|^2=27\)

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回復 13# czk0622 的帖子

謝謝老師~~我搞錯方向了!!

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回復 34# Christina 的帖子

我不知道鋼琴老師有沒有更方便的方式

我的方式是慢慢算XD

(1)一天三節:全部-連三節排-四五同時排但不連三
\(\displaystyle C^8_3-\displaystyle\frac{6!}{5!}-4=46\)

(2)一天四節:全部-連四節排-連三節排-四五同時排但不連三也不連四
\(\displaystyle C^8_4-\displaystyle{5!}{4!}-C^5_2 \times 2!-(2+C^2_1 \times C^2_1)=39\)

(3)一天五節:全部-連五節排-連四節排-連三節排-四五同時排但不連三、不連四、不連五
\(\displaystyle C^8_5-\displaystyle{4!}{3!}-C^4_2 \times 2!-(C^4_2 \times 2!+C^4_3 \times\displaystyle\frac{3!}{2!})=12\)

一共97種

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-17 11:52 編輯 ]

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回復 34# Christina 的帖子

討論跟中間那格相鄰的那四格

(1) 四同
中間有 4 種填法,相臨四格有 3 種填法,角落四格各有 3 種填法
4 * 3 * 3^4 = 972 種

(2) 三同一異
中間有 4 種填法,相臨四格有 3 * 2 * 4 種填法,角落四格中有兩格是 3 種填法,有兩格是 2 種填法
4 * (3 * 2 * 4) * (3^2 * 2^2) = 3456 種

(3) 二同二同
(i) 二同相對,另兩同也相對
中間有 4 種填法,相臨四格有 C(3,2) * 2 種填法,角落四格各有 2 種填法
4 * [C(3,2) * 2] * 2^4 = 384 種

(ii) 二同均不相對
中間有 4 種填法,相臨四格有 C(3,2) * 4 種填法,角落四格中有兩格是 3 種填法,有兩格是 2 種填法
4 * [C(3,2) * 4] * (3^2 * 2^2) = 1728 種

小計 2112 種

(4) 二同二異:
(i) 二同相對
中間有 4 種填法,相臨四格有 3 * 2 * 2 種填法,角落四格各有 2 種填法
4 * (3 * 2 * 2) * 2^4 = 768 種

(ii) 二同不相對
中間有 4 種填法,相臨四格有 3 * 4 * 2 種填法,角落四格中有一格是 3 種填法,有三格是 2 種填法
4 * (3 * 4 * 2) * (3 * 2^3) = 2304 種

小計 3072 種

總計 972 + 3456 + 2112 + 3072 = 9612 種

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回復 38# zidanesquall 的帖子

排課問題,小弟是這樣算的

(1) 一天三堂
與您相同做法

(2) 一天四堂
(a) 排四不排五
(最前面三節,最後面三節) = (2,1) 、(1,2)
2 * 3 + 3 * 3 = 15

(b) 排五不排四
同 (a),15 種

(c) 四五都不排
(最前面三節,最後面三節) = (2,2)
3 * 3 = 9 種

小計 39 種

(3) 一天五堂
(d) 排四不排五
(最前面三節,最後面三節) = (2,2)
2 * 3 = 6

(e) 排五不排四
同 (d),6 種

小計 12 種

總計 46 + 39 + 12 = 97 種

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