感謝thepiano老師長期的熱心回覆並分享解法，小弟受到許多的幫助！感恩~~

抱歉，我想請教填充14的第一行是如何整理得來

另外想請教填充4的做法，感謝指導

已編輯！

填充題 4. 已知 m，n 為正整數且 m² < 7n²，求 7n² - m² 的最小值為 ?


另解: 題意即考慮不定方程  7n² - m² = k，k 的情形。

基於左式有係數 7，分析以 7 為模的餘數是合理的。

m² ≡ 0，1，4，2  (mod 7)

⇒ 7n² - m² ≡ 0，6，3，5  (mod 7)

題目求最小值，故從最小的候選者依序考慮。

先試 k = 3，對應的 m ≡ ±2  (mod 7)，故再試 m = 2，得 n = 1。 ^_^ !  (m = 5，n = 2 亦可)

所求最小值 = 3。



填充題 14. 設 a, b, c 為正實數，且 a + b + c = 1，求 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) 之最小值為 ?


解 1: 由冪平均不等式，有

√ [ (a²+b²) /2 ] ≥ (a+b) /2

√ [ (b²+c²) /2 ] ≥ (b+c) /2

√ [ (c²+a²) /2 ] ≥ (c+a) /2

三式相加並移項，得 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )
110.1.30補充
我的教甄準備之路　a+b=1求極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079

解 2: 由柯西不等式: (a²+b²)*(1²+1²) ≥ (a+b)²，其餘類推，則與上法殊途同歸。


解 3: 由三角不等式: √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b)² + (b+c)²] + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b+c)² + (b+c+a)²] = √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )


解 4: 數形結合

令向量 u = (a, b)，v = (b, c)， w = (c, a)，則向量和 u + v + w = (1, 1)

所求即 |u| + |v| + |w| ≥ | u+v+w | = √2   ( 當 a = b = c 時取等號 )

(不用向量的話，亦可畫個邊長為 1 的正方形說明)


註: 由上列若干方法知，題目設 a, b, c 為 "實數" 即可 (不需為正)

感謝 eyeready 老師與 cefepime老師 的指導

讓我獲益良多

請問這個問題有計算題適用的解法嗎，感謝指導

計算第 1 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2778

初試最低錄取分數變成 60 分

想請問第九 第18題

9.
設實數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)滿足\(a^2+b^2=4\)和\((c-5)^2+(d-12)^2=36\)，試求\(ad-bc\)的最大值為　　　。

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18.
已知\(2x+y+2=0\)，試求\(\displaystyle log_2 \frac{y}{x^2}\)的最大值為　　　。

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