這樣改，純幾何就很難囉
其實您用的是角元塞瓦定理
\(\frac{\sin BAP}{\sin PAC}\times \frac{\sin ACP}{\sin PCB}\times \frac{\sin CBP}{\sin PBA}=1\)

您真博學,我不知有此定理,角元塞瓦定理有提到D,E,F,我所提的用不到,而且很輕易的推廣到凸n邊形內部一點P,兩組n個錯角正弦之積必相等.

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 22:19 編輯 ]

獲益良多，謝謝laylay 師！

計算第二題：

扣除 \(A,B,C,D\) 四點，需在 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}\) 四個線段分別取若干個等分點，

且按題意 \(P\) 到任兩個相鄰的等分點(含 \(A,B,C,D\))所連接的三角形面積皆相等，

由於 \(\triangle PAB+\triangle PCD\) 面積＝\(\triangle PAD+\triangle PBC\) 面積，

可知當且僅當滿足 「\(\overline{AB}\) 與 \(\overline{CD}\) 上的等分點個數和 ＝\(\overline{AD}\) 與 \(\overline{BC}\) 上的等分點個數和」即可達成題目要求，

所以，「\(\overline{AB}\) 與 \(\overline{CD}\) 上的等分點個數和 ＝\(\overline{AD}\) 與 \(\overline{BC}\) 上的等分點個數和＝３」

所求＝ \(H^2_3 \times H^2_3 = 4\times4 =16 \) 種情況，每種情況況恰可決定唯一的 \(P\) 點。

如附件

附件題號6 ,改正為7

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2017-5-16 12:47 編輯 ]

填充2 提供另解
\(
\displaystyle  \frac{{C_4^{10}  \times C_3^6  \times C_3^3 }}{{{\rm{2!}}}} - C_4^5  \times \frac{{C_3^6  \times C_3^3 }}{{2!}} - C_3^5  \times C_4^7  \times C_3^3  = 1700
\)

參考看看

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2017-5-17 08:26 編輯 ]

另外一個想法

回復 9# eyeready 的帖子

填充題 12

(一) 官方答案可用以下方式推得:

1. 原則上，一個 "兩線交點" 可以分別在所處的兩條直線上對應 2 條 "線段" (分別在該點兩側)，共 4 條; 而一個 "三線交點" 可以分別在所處的三條直線上對應 2 條 "線段"，共 6 條。

2. 但對於一直線上位於兩端的點，在沒有相鄰點的一側並無對應 "線段"，故應減去 2n。

3. 至此，每一條 "線段" 皆算了 2 次，故應再除以 2。

4. 綜上，所求 = [ 4*k + 6*(m - k) - 2n ] /2 = 3m - k - n


(二) eyeready 老師的方法，我認為也是正確的，基本上為:

1. 任一直線皆與其它 n-1 條直線相交。若交點皆相異，則在該直線上構成 n-2 條 "線段"。

2. 當存在一個 "三線交點" (即交點重合)，則與 "交點皆相異" 比較，該三條直線上的 "線段" 皆會少 1。

3. 綜上，所求 = n*(n - 2) - 3*(m - k) = n² - 2n - 3m + 3k


(三) 以上兩個答案會相等，因為:

1. 任二直線皆相交 1 次，故 n 條直線共相交 C(n, 2) 次。

2.  一個 "兩線交點" 代表相交 1 次，而一個 "三線交點" 代表相交 3 次，故有:

C(n, 2) = k + 3*(m - k)

⇒ n² - n = 6m - 4k ...(#)

把 (#) 式代入 (二) 的答案，即得 (一) 的答案。


因此，本題的答案可有無限多種。究其原因，是因為題目多給了非獨立的條件所致。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-23 22:56 編輯 ]