單選第4題
滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899}\)的正整數數對\((x,y)\)共有多少組？
(A)5　(B)10　(C)15　(D)20
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899} \\
& 1899y+1899x=xy \\
& \left( x-1899 \right)\left( y-1899 \right)={{1899}^{2}}={{3}^{4}}\times {{211}^{2}} \\
\end{align}\)

\({{3}^{4}}\times {{211}^{2}}\)有15個正因數
所求為15組

單選第7題
試問\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{3}{\sqrt{nk}}\right)\)之值最接近下列哪一個選項？
(A)3　(B)2.7　(C)2.6　(D)2.5
[解答]
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=n}^{2n-1}{\frac{3}{\sqrt{nk}}} \right) \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}+\cdots +\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{n}^{2}}-n}} \right) \\
& =3\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{0}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}} \right) \\
& =3\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx} \\
& =3\left( 2\sqrt{2}-2 \right) \\
& =6\sqrt{2}-6 \\
\end{align}\)

請教複選 2 與 4

想請教一下填充5和填充7
麻煩各位老師了

複選4
我是把各選項的反方陣算出來
再拿去乘AB和AC
結果必須要是每一個元素都是整數才可以

迴歸線公式請見高中第二冊4-2

謝謝tuhunger老師
這次考題變化比以前大,一時沒轉過來
當時只想到\(\displaystyle \frac{1}{2}=r x \frac{S_y}{S_x}\)，\(a+b=14\), 然後就....

請教填充2與3
謝謝

填充3
空間中，\(A(4,-4,4)\)、\(B(2,0,0)\)、\(C(-1,0,-3)\)、\(D\)四點同在一平面\(E\)上，若\(ABCD\)為一等腰梯形且\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\)，求\(D\)點坐標　　　。
[解答]
\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\)可設\(D(-1+t,-2t,-3+2t)\)
且\(\overline{AD}^2=\overline{BC}^2=18 \Rightarrow t^2-6t+8=0 \Rightarrow t=4 or 2\)
\(t=2\)時\(\overline{AD}\)//\(\overline{BC}\)不合，故\(t=4\)，\(D(3,-8,5)\)

填充第二題：
四邊形\(ABCD\)，已知\(\angle A=120^{\circ}\)，\(B\)和\(D\)都是直角，\(\overline{AB}=13\)，\(\overline{AD}=46\)，試求\(\overline{AC}=\)　　　。
[解答]
觀察：

     因為 \(\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\)，

     所以 四邊形 \(ABCD\) 內接於「以\(\overline{AC}\) 為直徑的圓」。

解：

在 \(\triangle ABD\) 中，由餘弦定理，\(\overline{BD}=\sqrt{13^2+46^2-2\cdot 13\cdot 46 \cos120^\circ}=31\sqrt{3}\)

在 \(\triangle CBD\) 中，由正弦定理，\(\displaystyle\frac{\overline{BD}}{\sin60^\circ}=2 \times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}\)

      \(\Rightarrow \overline{AC}=2\times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}=62\)

填充第5題
求值：\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+15k} \\
& =\frac{1}{k\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \\
& =\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{k\left( k+3 \right)}-\frac{1}{\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \right] \\
& =\frac{1}{15}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)-\frac{1}{10}\left( \frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+5} \right) \\
\end{align}\)

填充2另解
四邊形\(ABCD\)，已知\(\angle A=120^{\circ}\)，\(B\)和\(D\)都是直角，\(\overline{AB}=13\)，\(\overline{AD}=46\)，試求\(\overline{AC}=\)　　　。
[解答]
（現在流行寫兩解，每解只能得一半分數）
cos120＝cc-ss,（cc+1/2）^2＝（ss）^2＝（1-c^2）（1-c^2）
c^2+c^2+cc＝3/4,兩邊同乘A C^2得13^2+46^2+13*46＝3/4*A C^2
得A C＝62
這裡頭令人好奇的是AC為整數難道純屬巧合嗎？