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106內湖高中

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回復 1# Superconan 的帖子

可否請問第三題?謝謝!

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回復 11# vicki8210 的帖子

第 3 題,請參考附件

附件

20170517.pdf (123.26 KB)

2017-5-17 15:00, 下載次數: 234

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9. 設 a, b, c 是正實數。證明: 4a/(b+c) + 4b/(a+c) + c/(a+b) ≥ 7/2


另解: 不妨設 a + b + c = 1。

左式

= 4a/(1-a) + 4b/(1-b) + c/(1-c)

= (-9) + 4/(1-a) + 4/(1-b) + 1/(1-c) ......(#)

再由柯西不等式: [ 4/(1-a) + 4/(1-b) + 1/(1-c) ] * [ (1-a)+(1-b)+(1-c) ] ≥ (2+2+1)²

4/(1-a) + 4/(1-b) + 1/(1-c) ≥ 25/2

再代回 #式,得證。

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請參考另一題: https://math.pro/db/thread-2436-2-3.html 13#

之前版主 bugmens 老師曾提示過 "解題策略" 的觀念。從這兩題 thepiano 老師的妙解中 (本帖 2#),可以體會: 對於非對稱性,一次有理函數形式的最小值問題,可以嘗試的策略為: 把各分母部分設為新變數,並以之表示各分子,再採用算幾不等式求之。至於各算幾不等式取等號的條件"恰好"可吻合,則是題目設計的結果。

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3.  另解:

想法: 由 f(x) 的型式,不難聯想到 "二項分配(布)"。

(題目應有言明: 諸 ai 互異,且 f(x) 式中的 "n" 為正整數)

構思一個情境: 有一硬幣,擲出後出現正,反面的機率分別為 x, (1-x)。今進行投擲 n 次之試驗後,共給予基本計分a₀,並且,每擲出一次正面,就另予額外計分 d (d ≠ 0)。在此, d 為數列 <ai> 後項與前項之差 (至少三項時,即 "等差數列的公差")。

則 f(x) 即表示此次試驗的得分期望值。

另一方面,利用期望值具有"和"的性質,該期望值 = a₀+ n*(一次投擲的額外計分期望值) = a₀+ n*x*d

根據 "算兩次",得 f(x) = a₀+ ndx,為 x 的一次式。

(但是,以上過程僅適用 0 ≤ x ≤ 1,因此尚有下文)

由上述知,對於次數不高於 n 的多項式函數 f(x),存在無窮多個實數 0 ≤ x ≤ 1,滿足 f(x) = a₀+ ndx。故本題得證。

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6. (2) 第一晚及第六晚皆在 A 樹,求這六個晚上的棲息順序有幾種?


另解: 數字化

以逆時針方向為正,則下一晚的位移可能為 0,1,-1 三種。

又經過 5 晚回到原處,則總位移可能為 0,5,-5 三種。


情形 1: 總位移 = 0

1-a  一個 0,二個 1,二個 -1 ⇒ C(5,2)*C(3,2) = 30

1-b  三個 0,一個 1,一個 -1 ⇒ P(5,2) = 20

1-c  五個 0 ⇒ 1


情形 2: 總位移 = 5

五個 1 ⇒ 1


情形 3: 總位移 = -5

同情形 2 ⇒ 1


所求 = 30+20+1+1+1 = 53

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第8題

請問一下,第8題的AB與CD線段都跟BC垂直嗎?

而且BC是過圓心的線段,這樣理解對嗎?

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回復 1# Superconan 的帖子

關於第三題,請問是否仍需要在多加一個條件 \(a_0\neq a_1\) ?
想法如下
\(2a_{n+1}=a_{n+2}+a_{n}\)
\(a_{n}=a_{0}+n(a_{1}-a_{0})\)
因此
\(
\begin{align*}
f(x) &= \sum_{k=0}^{n} a_{k}C^{n}_{k}x^k(1-x)^{n-k}\\
      &= \sum_{k=0}^{n}[a_0+k(a_1-a_0)]C^{n}_{k}x^{k}(1-x)^{n-k}\\
      &= a_0+(a_1-a_0)nx
\end{align*}
\)
若依題意,要證明
\(f(x)\) 是 \(x\) 的一次式
那 \(a_0\neq a_1\) 這條件是否要存在?

謝謝老師們的幫忙

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回復 17# floot363 的帖子

抱歉,沒注意到「thepiano 」老師和「cefepime 」老師已解這題
我把「Superconan 」老師的的記錄整理成 PDF 檔
若有錯誤再麻煩老師們提醒,我再更改

附件

106內湖高中.pdf (85.27 KB)

2017-8-12 07:51, 下載次數: 48

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