一個四面體的每一個面都是邊長分別為6,9,9的三角形，求該四面體體積　　　。
[解答]

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2017-5-9 20:32

畫出來，四個面都會是等腰三角形

設\(\overline{BC}\)中點為\(M\)、\(\overline{AD}\)中點為\(N\)、高為\(h\)

則\(\overline{AM}=\overline{DM}=6\sqrt{2}\)，因為都是等腰三角形，所以\(A\)到底面積的高，垂足會落在\(\overline{BD}\)上，先可得到\(\overline{MN}=3\sqrt{7}\)

\(\displaystyle\frac{\overline{DM}\times h}{2}=\frac{6\times\overline{MN}}{2}\rightarrow h=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\)
體積就可以直接算，\(V=\displaystyle\frac{1}{3}\times 6\times 6\sqrt{2}\times\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{2}=18\sqrt{7}\)

第 6 題
一個四面體的每一個面都是邊長分別為6,9,9的三角形，求該四面體體積　　　。
[解答]
菱形 ABCD，AB = BC = CD = DA = 9，AC = 6，BD = 2√(9^2 - 3^2) = 12√2
設 AC 和 BD 交於 E，則 BE = DE = 6√2

沿對角線 AC 摺起，讓 B 和 D 的距離為 6，即為題目的四面體
四面體以 △ABC 為底面，高為 △BED 中，D 到 BE 的距離

△ABC = 18√2
△BEC = 9√7，C 到 BE 的距離 = (3/2)√14

所求 = (1/3) * 18√2 * (3/2)√14 = 18√7

最後面是乘以1/2吧？

對！沒發現我少打了，感謝鋼琴老師！

謝謝 thepiano 和 zidanesquall  老師

6.
一個四面體的每一個面都是邊長分別為6,9,9的三角形，求該四面體體積　　　。
[另解]
4個面皆全等的四面體，可視為在一長方體上取 4 個不共稜的頂點所連接而成 (或說是由一長方體"切"下來的)

令此長方體邊長為 a，a，b，則 a² + a² = 36，a² + b² = 81

⇒ a = √18，b = 3√7

所求 = (1/3)*a²b = 18√7



14.
設\(P,Q\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上兩動點，\(P\)在第一象限，\(Q\)在第二象限，且\(\angle POQ=90^{\circ}\)(\(O\)為原點)，求\(\triangle POQ\)的最小面積為　　　。
[另解]
考慮橢圓與以其長軸為直徑的圓之關係

令 OP 與 x 軸正向夾角 = θ，tan θ = t

題目所求為角度 α+β 最大時的情形，其中 tan α = t*(2/√3)，tan β = (1/t)*(2/√3)

利用 tan (α+β) = (-2√3)*(t + 1/t) 與 AM-GM 知，此時 t = 1，即 θ = 45°

在 (x²/4) + (y²/3) = 1 上，令 P (x₀，x₀)，所求 = x₀² = 12/7