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106師大附中

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原帖由 thepiano 於 2017-4-27 19:46 發表
填充第3題
\( \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+r{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=1+\frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\)

\(\left( 1 \right)r=1,f\left( x \right) ...
我是這麼作的, 令
\(\displaystyle f(x)=\frac{x^4+rx^2+1}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2+r+\frac{1}{x^2}}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{y+r}{y+1}=1+\frac{r-1}{y+1}=g(y)\), 其中 \(y=x^2+\frac{1}{x^2}\geq 2\).
(i) 當 \(r=1\) 時, 顯然成立.
(ii) 當 \(r>1\) 時, \(g(y)\) 為遞減函數, 設 \(a\geq b\geq 2\), 則 \(g(a)\leq g(b)\leq g(2)\).
由題意可得 \(g(a)+g(b)>g(2)  \forall  a\geq b\geq 2\),
即 \(\displaystyle1+\frac{r-1}{a+1}+1+\frac{r-1}{b+1}>1+\frac{r-1}{2+1}  \forall  a\geq b\geq 2\), 對 \(a,b\) 取極限可得
\(\displaystyle \lim_{a, b\to\infty}1+\frac{r-1}{a+1}+1+\frac{r-1}{b+1}\geq1+\frac{r-1}{2+1} \), 可得\(\displaystyle 1\geq\frac{r-1}{3}\), 亦即 \(r\leq4\).
因此 \(1<r\leq4\).
(iii) 當 \(r<1\) 時, \(g(y)\) 為遞增函數, 設 \(a\geq b\geq 2\), 則 \(\displaystyle g(a)\geq g(b)\geq g(2)=1+\frac{r-1}{3}>0\), 因此 \(r>-2\).
由題意可得 \(g(a)<g(b)+g(2)  \forall  a\geq b\geq 2\), 亦即 \(g(a)-g(b)<g(2)  \forall  a\geq b\geq 2\).
故 \(\sup_{a\geq b\geq 2}g(a)-g(b)\leq g(2)\).
因為 \(g(x)\) 為一嚴格遞增函數, 故 \(\sup_{a\geq b\geq 2}g(a)-g(b)=\lim_{a\to\infty,b\to 2}g(a)-g(b)=1-g(2)\).
故得 \(1-g(2)\leq g(2)\), 即 \(\displaystyle\frac{1}{2}\leq g(2)=1+\frac{r-1}{3}\), 即 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq r\).
因此 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq r<1\).
綜合(i)(ii)(iii)可得 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq r\leq 4\).

以下證明 \(r=4\) 和 \(\displaystyle r=-\frac{1}{2}\) 時, 對任意實數 \(a\geq b\geq c\geq 2\), \(g(a), g(b), g(c)\) 均可形成三角形三邊長.
(i) 當 \(r=4\) 時, \(g(a)\leq g(b)\leq g(c)\leq g(2)=2\).
此時 \(\displaystyle g(a)+g(b)=1+\frac{3}{a+1}+1+\frac{3}{b+1}>2=g(2)\geq g(c)\),
因此 \(g(a), g(b), g(c)\) 可形成三角形三邊長.
(ii) 當 \(\displaystyle r=-\frac{1}{2}\) 時, \(\displaystyle g(a)\geq g(b)\geq g(c)\geq g(2)=\frac{1}{2}\).
此時 \(\displaystyle g(a)-g(b)\leq g(a)-g(2)=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}=g(2)\leq g(c)\),
因此 \(g(a), g(b), g(c)\) 可形成三角形三邊長.

好奇怪, 為什麼測試時能用 \dfrac, 正式發文時卻不行@@?

[ 本帖最後由 leonyo 於 2017-8-15 06:54 編輯 ]

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回復 30# leonyo 的帖子

r=4時,取a=b=0,c=1,f(a)=f(b)=1,f(c)=2,無法構成三角形

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回復 32# thepiano 的帖子

感謝鋼琴大, 原來差在x=0這地方

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回復 31# leonyo 的帖子

不知道 leonyo 老師你所謂的測試是指在 WinEdt 或 TeXwords 或 Lyx 平台測試
若是上敘三者,可能老師您在環境設定時已經設定
\renewcommand{\d}{\displaystyle}
所以 mathpro 是無法讀懂何謂
\dfrac
可能還是得打字為
\displaystyle\frac
網頁才能顯示出來老師您所要的樣式

[ 本帖最後由 floot363 於 2017-9-4 19:37 編輯 ]

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