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106師大附中

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回復 7# g112 的帖子

填充第 6 題
在 △ADC 中,由正弦定理
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AD}}{\sin \theta }=\frac{\overline{AC}}{\sin \left( \pi -2\theta  \right)}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin \theta \cos \theta } \\
& \overline{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta } \\
\end{align}\)

在 △BDC 中,由正弦定理
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{BD}}{\sin \left( \pi -2\theta -\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\overline{CD}}{\sin \frac{\pi }{3}} \\
& \frac{1}{\sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta }}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\cos \theta } \\
& \sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)=\cos \theta  \\
& 0<\theta <\frac{\pi }{2} \\
& \theta =\frac{\pi }{18}\ or\ \frac{\pi }{6} \\
& \sin 3\theta =\frac{1}{2}\ or\ 1 \\
\end{align}\)

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回復 10# g112 的帖子

請參閱
另想請教g112 兄 填充10 您是怎麼算的呢?

填充8
\(
己知線段\overline {AB} 是以C(0,1)為圓心且與函數y = \frac{1}{{|x|-1}}的圖形有交點
\)
\(
的所有圓中半徑最小的圓的一條直徑,O為原點,則向量OA\) \(\cdot \)\(向量 OB?\)

\(如上圖所示,最小圓發生於相切時,可用判別式等於0求得半徑之值\)
\(
取右半圓x>0,設x^2+(y-1)^2=r^2代入\displaystyle y = \frac{1}{{|x|-1}}
\)
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 可得r^2-(y-1)^2 = (\frac{1}{y}+1)^2整理完後得到
\displaystyle y^2-2y+2+\frac{2}{y}+\frac{1}{{y^2 }} =r^2
\end{array}
\)
\(
\displaystyle 再令t = y - \frac{1}{y},整理可得t^2-2t+4-r^2=0
\)
\(
因為最小圓相切恰一解,判別式=0,可得r^2=3,
可取A(0, - \sqrt 3+1)
\)
\(
B(0,\sqrt 3+1)求出所求為-2
(設參數式亦可)
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-28 21:50 編輯 ]

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回復 7# g112 的帖子

填充 2. 寫得有得長,前面是合理推測答案,後面是證明,順序有得亂,請見諒

\( 106^{106} = 53^{106} \times 2^{106} \)

重點在 53 這個質因數,當兩數模 53 同餘時,兩數相減會有53 這個因數。

因此我們將\( S_n \) 中的元素以模 53 來分類,各分類的元素個數記作 \( x_i \),滿足 \( \sum x_i =n \)。

令 \( p = \sum \frac{x_i(x_i-1)}{2} \),則 \( 53^p \) 整除 \( \prod\limits_{i\neq j} (a_i-a_j) \)

而函數 \( f(x) = \frac12 x(x-1) \) 是凸函數,因此 \( p \) "應"在 \( x_i \) 盡量接近時有最小值。

當 \( x_i =3 \), \( i=1,2,3,\ldots, 26 \), \( x_i =2 \), \( i =27,28,\dots 53 \) 時,\( p = 26\times 2 + 27 = 105 \)

取 \( S_n = \{1,2,3 \ldots 132 \} \),此 \( S_n \) 滿足上行 \( x_i \),且無 \( 53^2 \mid a_i - a_j \) 之情況,故 \( 53^{105} \) 整除 \( \prod\limits_{i \neq j} (a_i-a_j) \),但 \( 53^{106} \) 不整除 \( \prod\limits_{i\neq j} (a_i-a_j) \)。

因此 \( n > 132 \)。

當 \( x_i =3 \), \( i=1,2,3,\ldots, 27 \), \( x_i =2 \), \( i =28,29,\dots 53 \) 時,\( p = 27\times 2 + 26 = 107 \)

至此,可相信 \( n \) 之最小值為 \( 3\times 27 + 2\times 26 =133 \)

但證明部分尚缺「而函數 \( f(x) = \frac12 x(x-1) \) 是凸函數,因此 \( p \) "應"在 \( x_i \) 盡量接近時有最小值。」即最小值發生的情況正好是上上行,因為其餘情況,\( 53^{106} \) 必整除 \( \prod\limits_{i \neq j} (a_i-a_j) \)。

而最小值的證明,本等上與凸函數不等式相同,但在這裡 \( x_i \) 是非負整數,也就是離散版的。

運用反證法,假設有 \( x_i,  x_j \) 滿足 \( x_i \geq x_j +2 \)

易驗 \( \frac12 x_i(x_i-1) + \frac12 x_j(x_j-1) > \frac12 (x_i-1)(x_i-2) +\frac12 (x_j+1)x_j \)

因此我們將 \( x_i,  x_j \) 換成 \( x_i-1,  x_j+1 \),可保持 \( n = \sum x_k \) 不變,但 \( p \) 的值更小。

因此當 \( p \) 達最小值時,任兩個 \( x_i,  x_j \) 必須滿足 \( |x_i -  x_j| \leq 1 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2017-8-6 14:20 編輯 ]
文不成,武不就

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第十題 小弟試著用GGB繪圖會比較直觀一些
PS:想請教各位老師們Case 1 有沒有比較快的討論法呢?


[解]
Case1:正四面體邊長為6的相交情況


Case2:正四面體邊長為6根號3的相交情況


[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-10 17:51 編輯 ]

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請問4樓
填充7如何證明A,D,P共線時,周長最大。

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回復 15# Chen 的帖子


\(
\begin{array}{l}
\overline {AF}  + \overline {PF}  + \overline {PA}  = \overline {AF}  + \overline {PA}  + (2a - \overline {PD} ) \\
  = \overline {AF}  + 2a + \overline {PA}  - \overline {PD}  \le \overline {AF}  + 2a + \overline {AD}  \\
\end{array}
\)
可知當P、A、D共線時有最大值
PS:106新北聯招有出類似題

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-17 16:38 編輯 ]

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填充題 13 另解:

公式: 某次選舉,甲得 m 票,乙得 n 票 (m ≥ n),則開票過程中,甲的票數一路領先的機率 = (m - n) / (m + n)


本題所求為: 開票過程中,甲最多落後乙 1 票的機率 -- 仍可借助上列公式 (若求 "甲一路不落後的機率",亦可)。

原理: 甲得 99 票、乙得 51 票,甲最多落後乙 1 票的方法數 = 甲得 101 票、乙得 51 票,甲一路領先的方法數。


解:  [ C(152, 101)*(50 /152) ] / C(150, 99) = 151 /202


--------------------------------------

一般用方格圖解,則:

[ C(150, 99) - C(150, 101) ] / C(150, 99) = 151 /202


[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-18 23:21 編輯 ]

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想請教計算4
有類似的題目嗎?
謝謝~

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回復 18# litlesweetx 的帖子

前面3#就有laylay老師的解答了
小弟把符號打好再貼一次

附件

106師大附中計算4.PNG (7.61 KB)

2017-5-19 15:34

106師大附中計算4.PNG

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請問有高手會證第二部分第5題嗎?!

我想好久,但還是證不嚴謹@@

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