第1題
這樣證，簡捷一些
  1a12+1a22+1a32++1an2112+122+132++1n21+112+123++1n−1n=1+1−21+21−31++1n−1−n1=2−n12

高斯那題不等式

設x=a+b會變成3a2+(6b)a+(3b2+6b−4)0

可是這樣開口向上不可能恆負？
這樣該如何用判別式呢？

順道請益第五題
我把方程式看作(x+1)5=x5
然後用極式假設x=r(cost+isint)下去進行運算
答案不知怎麼解出t

如果假設a+bi
展開比較係數又很多交叉項也不知如何解

以上請教各老師大家的方法？

高斯那題
  3b2+6a+1b+3a2−40−a−1−318a+21b−a−1+318a+21  0b−a−1+318a+21a+1318a+21a=−101


第5題
可令x=y−21代入原方程，可整理成80y4+40y2+1=0

第 5 題是否可以這樣: (借用一下 leo790124 老師 的巧思)

已知 x 是複數，5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1 = 0，證明: x 的實部恆等於 -1/2。

解: 原式的係數極似 (a + b)⁵ 展開後的係數 (1,5,10,10,5,1)，因此與之聯想，將原式"補全"，化為:

(x + 1)⁵= x⁵

上式的"還原現象"，不難想到絕對值 (或者說，由於 x+1 與 x 皆為某數的 5 次方根，因此它們絕對值相等):

| (x + 1)⁵| = | x⁵|

| x + 1 |⁵= | x |⁵

| x + 1 | = | x |  (絕對值是實數)

至此用圖解就很簡明了，或令 x = a + bi 代入 (a, b ∈ R)

| (a +1) + bi | = | a + bi |

(a +1)² + b² = a² + b²

a = - 1/2


引申:
若複數 Z 滿足 ( Z + k ) ⁿ = Z ⁿ，0 ≠ k ∈ R，n ∈ N
則 R (Z) = - k / 2

[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-6-29 03:27 PM 編輯 ]

謝謝cefepime老師和鋼琴師
豁然開朗!!

可以跟寸絲老師問一下  這題要如何下手
我有想過令x=r(cosa+isina)去做但做不下去
你的連結我有去看 確定是-1/2但沒說解法
可以求詳解嗎?
謝謝

#15 樓不是已經證完了嗎？

如果不用絕對值的話，可以改寫如下

x5+5x4+10x3+10x2+5x+1=x5

(x+1)5=x5，

易驗 x=0 不是解，故 (1+x1)5=11+x1 為 1 的 5 次方根

令 1+x1=cos+isin，則 x=1cos−1+isin=cos−1−isincos2−2cos+1+sin2=2−2coscos−1−isin

故 x 的實部為 cos−12−2cos=−21

我有看完第一面 可能沒看到他還有第2面
我下次會改進 不好意思

因為我有去現場  所以想了解卡在哪
謝謝寸斯老師的詳解