第1題
這樣證，簡捷一些
\(\begin{align}
  & \frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}} \\
& \le \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \\
& <1+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{\left( n-1 \right)\times n} \\
& =1+\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\cdots +\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right) \\
& =2-\frac{1}{n} \\
& <2 \\
\end{align}\)

高斯那題不等式

設\(x=a+b \)會變成\(3a^2+(6b) a +(3b^2+6b-4) < 0\)

可是這樣開口向上不可能恆負？
這樣該如何用判別式呢？

順道請益第五題
我把方程式看作\( (x+1)^5 = x^5 \)
然後用極式假設\(x=r(cos t +i sin t) \)下去進行運算
答案不知怎麼解出\(t\)

如果假設\(a+bi \)
展開比較係數又很多交叉項也不知如何解

以上請教各老師大家的方法？

高斯那題
\(\begin{align}
  & 3{{b}^{2}}+6\left( a+1 \right)b+\left( 3{{a}^{2}}-4 \right)<0 \\
& -a-1-\frac{\sqrt{18a+21}}{3}<b<-a-1+\frac{\sqrt{18a+21}}{3} \\
&  \\
& 0\le b<-a-1+\frac{\sqrt{18a+21}}{3} \\
& a+1<\frac{\sqrt{18a+21}}{3} \\
& a=-1,0,1 \\
& ... \\
\end{align}\)


第5題
可令\(x=y-\frac{1}{2}\)代入原方程，可整理成\(80{{y}^{4}}+40{{y}^{2}}+1=0\)

第 5 題是否可以這樣: (借用一下 leo790124 老師 的巧思)

已知 x 是複數，5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1 = 0，證明: x 的實部恆等於 -1/2。

解: 原式的係數極似 (a + b)⁵ 展開後的係數 (1,5,10,10,5,1)，因此與之聯想，將原式"補全"，化為:

(x + 1)⁵= x⁵

上式的"還原現象"，不難想到絕對值 (或者說，由於 x+1 與 x 皆為某數的 5 次方根，因此它們絕對值相等):

| (x + 1)⁵| = | x⁵|

| x + 1 |⁵= | x |⁵

| x + 1 | = | x |  (絕對值是實數)

至此用圖解就很簡明了，或令 x = a + bi 代入 (a, b ∈ R)

| (a +1) + bi | = | a + bi |

(a +1)² + b² = a² + b²

a = - 1/2


引申:
若複數 Z 滿足 ( Z + k ) ⁿ = Z ⁿ，0 ≠ k ∈ R，n ∈ N
則 R (Z) = - k / 2

[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-6-29 03:27 PM 編輯 ]

謝謝cefepime老師和鋼琴師
豁然開朗!!

可以跟寸絲老師問一下  這題要如何下手
我有想過令x=r(cosa+isina)去做但做不下去
你的連結我有去看 確定是-1/2但沒說解法
可以求詳解嗎?
謝謝

#15 樓不是已經證完了嗎？

如果不用絕對值的話，可以改寫如下

\( {\color{red}x^{5}}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1={\color{red}x^{5}} \)

\( \Rightarrow (x+1)^5 = x^5 \)，

易驗 \( x=0 \) 不是解，故 \( (1+\frac1x)^5 = 1 \Rightarrow 1+\frac1x \) 為 1 的 5 次方根

令 \( 1 + \frac1x = \cos \theta + i \sin \theta \)，則 \( \displaystyle x = \frac{1}{\cos\theta-1+i\sin\theta} = \frac{\cos\theta-1-i\sin\theta}{\cos^{2}\theta-2\cos\theta+1 + \sin^{2}\theta}=\frac{\cos\theta-1-i\sin\theta}{2 -2\cos\theta} \)

故 \( x \) 的實部為 \( \displaystyle \frac{\cos\theta-1}{2 - 2\cos\theta} = -\frac12 \)

我有看完第一面 可能沒看到他還有第2面
我下次會改進 不好意思

因為我有去現場  所以想了解卡在哪
謝謝寸斯老師的詳解