小弟整理出4種方式  供各位參考 (類似題目可參考104新北 填充1)

計算第1題
空間中，設一直線\( L \)通過\( (5,3,2) \)與直線\( \displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1} \)交於\( P \)點，且與直線\( \displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{5} \)交於\( Q \)點，則
(1)試求直線\( L \)的直線方程式。(以對稱比例式表示)
(2)求\( \overline{PQ} \)的長為何？

想請教計算第一題直線方程式是\( x=t+5,y=-3t+3,z=-4t+2 \)
是這個答案嗎？

對，不過題目要的是對稱比例式

第6題
在三角形\( ABC \)中，\( a,b,c \)分別是角\( A,B,C \)的對邊，且\( \displaystyle sinAcosC+cosAsinC=\frac{\sqrt{3}}{2} \)，若\( b=\sqrt{7} \)，三角形\( ABC \)的面積等於\( \displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4} \)，求\( a+c \)等於多少　　　。

想請教填充6的答案是4嗎，謝謝。

對啦

計算第3題
「在坐標平面上，\( \displaystyle \frac{|\; 3x+2y |\;}{5}+\frac{|\; 7x+y |\;}{8}=1 \)所圍成的區域面積為何？」此題是高二學生在學習「第四冊第三章矩陣」遇到的問題，請問你會如何引導你的學生，利用本章何種概念，去思考解此題並把解題過程詳細列出。
[解答]
有關計算第三題，小弟分別有兩個想法，第二個想法的第二個case應該是B和A"的直線 再請參閱 有錯也請告知

113.6.2補充
(1)在坐標平面上，設\(\Delta ABC\)經二階方陣\(M=\left[\matrix{a&b\cr c&d} \right]\)作線性變換後成\(\Delta A'B'C'\)。若\(\Delta ABC\)的面積為\(\Delta\)，\(\Delta A'B'C'\)的面積為\(\Delta'\)，試證明：\(\Delta'=|\;\left|\matrix{a&b\cr c&d} \right| |\;\cdot \Delta\)。
(2)試求出滿足\(|\;2x+y-113|\;+|\;x+3y-2024|\;=5\)的所有點\((x,y)\)所圍成的區域面積。
(113嘉義高中，https://math.pro/db/thread-3851-1-1.html)

試求\(\displaystyle \frac{|\;19x+13y|\;}{3}+\frac{|\;25x+17y|\;}{4}=1\)的圖形內部面積為　　　。
(113師大附中二招，https://math.pro/db/thread-3878-1-1.html)

114.3.20補充
試求坐標平面上滿足\(|\;14x+13y-14|\;+|\;13x+14y+13|\;\le 27\)的所有點\((x,y)\)所圍成圖形之區域面積為　　　。
(114高科實中　國中部，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3940&page=1#pid26821)

114.3.22補充
在座標平面上，求滿足\(|\;13x-10y+6|\;+|\;17x+13y-2|\;\le 339\)的區域面積為　　　。
(114建功高中，https://math.pro/db/thread-3942-1-1.html)

115.3.30補充
已知在坐標平面上，滿足以下不等式\(|3x + 2y - 2| + |3x - 2y + 5| + |3x + 2y + 2| + |3x - 2y - 5| \le 14\)的點\((x, y)\)所成的圖形面積為　　　。
(115嘉科實中，https://math.pro/db/thread-4079-1-1.html)

空間中，設一直線\(L\)通過\((5,3,2)\)與直線\(\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}\)交於\(P\)點，且與直線\(\displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{5}\)交於\(Q\)點，則
(1)試求直線\(L\)的直線方程式。(以對稱比例式表示)
(2)求\(\overline{PQ}\)的長為何？

版上的老師好,計算過程如下,但不知道哪裡做錯導致卡住,想求教計算第一題?

已知點\(A(5,3,2)\)，直線\(L\)的參數式與比例式關係：
設直線上的點\(P\)座標為\((3s+2,2s-1,-s+1)\)
直線方程式為：\(\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}=s\)
另一條直線方程式為：\(\displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{5}\)
設過點\(A(5,3,2)\)與點\(P\)的直線\(L\)方程式為：\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-5}{3s-3}=\frac{y-3}{2s-4}=\frac{z-2}{-s-1} =r\)
由上式可得\(x, y, z\)的參數式：\(\Rightarrow \cases{x = r(3s-3)+5 \cr y=r(2s-4)+3 \cr z=r(-s-1)+2}\)
將此座標代入另一條直線\(\displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{5}\)：
\(\displaystyle \frac{r(3s-3)+3}{2}=\frac{r(2s-4)}{3}=\frac{r(-s-1) + 1}{5}\)
解聯立方程：
①處理前兩項：
\(3[r(3s-3) + 3] = 2[r(2s-4)]\)
\(9rs - 9r + 9 = 4rs - 8r\)
\(5rs - r + 9 = 0\)
\(r(5s - 1) = -9\)
\(\displaystyle r = \frac{-9}{5s - 1}\)

②處理後兩項：
\(5[r(2s-4)] = 3[r(-s-1) + 1]\)
\(10rs - 20r = -3rs - 3r + 1\)
\(13rs - 17r = 1\)
\(r(13s - 17) = 1\)
\(\displaystyle r = \frac{1}{13s - 17}\)

③比較\(r\)值求解\(s\)：
\(\displaystyle \frac{-9}{5s - 1} = \frac{1}{13s - 17}\)
\(-9(13s - 17) = 5s - 1\)
\(-117s + 153 = 5s - 1\)
\(-122s = -154\)
\(\displaystyle s = \frac{154}{122} = \frac{77}{61}\)

5r(2s-4)=-3rs-3r+3 才對

謝謝鋼琴老師 改完之後 算出來的s=78/61,     代回得Q(360/61,95/61,-17/61)

似乎和之前的前輩所得知答案不一樣,可以麻煩再指點一下嗎?   ,

\(\begin{align}
  & 5r\left( 2s-4 \right)=-3rs-3r+3 \\
& 10rs-20r=-3rs-3r+3 \\
& 13rs-17r=3 \\
& r=\frac{3}{13s-17} \\
&  \\
& \frac{3}{13s-17}=\frac{-9}{5s-1} \\
& 15s-3=-117s+153 \\
& 132s=156 \\
& s=\frac{13}{11} \\
& r=-\frac{11}{6} \\
\end{align}\)