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例題:三角函數─利用三角函數求解一元三次方程式

例題:三角函數─利用三角函數求解一元三次方程式

擺一點舊的東西充充場面~
求解一元三次方程式 x35x+6=18




下面附上用數學軟體 Mathematica 求解(它應該是利用 Cardano 的一元三次方程式公式解)

多喝水。

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係數再調整一下就是很好的題目
x33x+1=0
提示:x=2cosθ
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=60046

(1)解方程式4x33x+21=0
(2)求sec92π+sec94π+sec98π的值。
2001全國高中數學能力競賽台灣省桃竹苗區試題,95和美高中
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... High_HsinChu_01.pdf


105.5.1補充
x36x+2=0改為x36x+4=0
感謝CyberCat指正

x36x+4=0
提示:x=22cosθ 
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=105200


2+22+x=x 
提示:x=2cosθ
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=59094


2010.12.11補充
x33x=x+2 
提示:x=2cos2
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=302794


101.11.27補充
x33x+3=0Find x=?.
http://www.artofproblemsolving.c ... ?f=151&t=508734
這題可以改問唯一的實根為何?x=323+5+3235 

105.5.1補充
這個解法是錯誤的,感謝CyberCat指正

但用三角函數代換的話
x=2cos()代入得(2cos)33(2cos)+3=02(4cos333cos)+3=02cos3+3=0cos3=23
再用cos=2ei+eicos3=2e3i+e3i代入
2e3i+e3i=23e3i+e3i=3(e3i)2+3(e3i)+1=0
利用公式解得到e3i=235 ei=3235 
x=2cos=ei+ei=323+5+3235 


改用x=y+y1代換的話
(y+y1)33(y+y1)+3=0y3+1y3+3=0(y3)2+3(y3)+1=0
利用公式解得到 \displaystyle y^3=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} y=\root 3 \of{\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}}
\displaystyle x=y+\frac{1}{y}=\root 3 \of{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}


101.1.4補充
求以 \displaystyle cos \frac{2\pi}{9} \displaystyle cos \frac{4\pi}{9} \displaystyle cos \frac{8\pi}{9} 為根的三次方程式並求a,b之值,且
\displaystyle a=cos \frac{2\pi}{9}+cos \frac{4\pi}{9}+cos \frac{8\pi}{9} \displaystyle b=cos \frac{2\pi}{9}cos \frac{4\pi}{9}cos \frac{8\pi}{9}
則數對 (a,b)=
(101嘉義高中代理,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1357&page=2#pid7417)


104.4.29補充
x^3+3x-2=0 在0與1之間有一個實數解 x_0 ,試解 x_0
(104彰化高中,https://math.pro/db/thread-2235-1-1.html)
提示: \displaystyle x=t-\frac{1}{t}

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-4-29 11:38 AM 編輯 ]

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回復 2# bugmens 的帖子

請問bugmens老師
關於 x^{3}-6x+2=0 這題
如果利用韋達三角代換 令 x=2^{1.5}cos\theta  
算出來 cos3\theta =  \frac{-1}{2^{1.5}}    不是特別角,接下來還可以算嗎?
還是我算錯了><  還是說答案要用反三角表達?
圖型看起來有三個實根 可是都代換失敗><
也試著用t+1/t的換法 沒成功><
把+2改+4似乎是特別角就變得很好算

另外再請問老師
x^{3}-3x+3=0 這題若用三角代換法 過程中會出現 cos3\theta =-1.5
可是 cos3\theta 值應該是在-1~1之間 是不是有什麼觀念我沒弄清楚?

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-1 07:19 PM 編輯 ]

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2016-4-13 23:35

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看來豈是尋常色   濃淡由他冰雪中

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x^3-6x+2=0應該是x^3-6x+4=0,這樣才會有特別角
應該是我當初從網頁抄出來時沒有驗算

x^3-3x+3=0, \displaystyle x=\root 3 \of {\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of {\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}大約-2.1038
所以一開始x=2cos \theta是錯誤的假設,還是只能用 \displaystyle x=y+\frac{1}{y} 來代換才對

再次感謝指正

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