係數再調整一下就是很好的題目
\( x^3-3x+1=0 \)
提示：\( x=2cosθ \)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=60046
(1)解方程式\( 4x^3-3x+\frac{1}{2}=0 \)。
(2)求\( sec\frac{2π}{9}+sec\frac{4π}{9}+sec\frac{8π}{9} \)的值。
2001全國高中數學能力競賽台灣省桃竹苗區試題，95和美高中
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... High_HsinChu_01.pdf
105.5.1補充
\( x^3-6x+2=0 \)改為\( x^3-6x+4=0 \)
感謝CyberCat指正
\( x^3-6x+4=0 \)
提示：\( x=2 \sqrt{2}cosθ \)
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=105200
\( \sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}=x \)
提示：\( x=2cosθ \)
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=59094
2010.12.11補充
\( x^3-3x=\sqrt{x+2} \)
提示：\( x=2cos2 \theta \)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=302794
101.11.27補充
\( x^3-3x+3=0 \)Find x=?.
http://www.artofproblemsolving.c ... ?f=151&t=508734
這題可以改問唯一的實根為何？\( \displaystyle x=\root 3 \of{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}} \)
105.5.1補充
這個解法是錯誤的,感謝CyberCat指正
但用三角函數代換的話
\( x=2cos(\theta) \)代入得\( (2cos \theta)^3-3(2cos \theta)+3=0 \)，\( 2(4cos 3 \theta^3-3cos \theta)+3=0 \)，\( 2cos3 \theta+3=0 \)，\( \displaystyle cos3 \theta=\frac{-3}{2} \)
再用\( \displaystyle cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \)，\( \displaystyle cos 3\theta=\frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2} \)代入
\( \displaystyle \frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2}=\frac{-3}{2} \)，\( e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}=-3 \)，\( (e^{3i\theta})^2+3(e^{3i\theta})+1=0 \)
利用公式解得到\( \displaystyle e^{3i\theta}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \)，\( \displaystyle e^{i \theta}=\root 3 \of{\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}} \)
\( \displaystyle x=2cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta}=\root 3 \of{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}} \)
改用\( x=y+\frac{1}{y} \)代換的話
\( \displaystyle (y+\frac{1}{y})^3-3(y+\frac{1}{y})+3=0 \)，\( \displaystyle y^3+\frac{1}{y^3}+3=0 \)，\( (y^3)^2+3(y^3)+1=0 \)
利用公式解得到\( \displaystyle y^3=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \)，\( y=\root 3 \of{\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}} \)
\( \displaystyle x=y+\frac{1}{y}=\root 3 \of{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}} \)
101.1.4補充
求以\( \displaystyle cos \frac{2\pi}{9} \)，\( \displaystyle cos \frac{4\pi}{9} \)，\( \displaystyle cos \frac{8\pi}{9} \)為根的三次方程式並求a,b之值，且
\( \displaystyle a=cos \frac{2\pi}{9}+cos \frac{4\pi}{9}+cos \frac{8\pi}{9} \)，\( \displaystyle b=cos \frac{2\pi}{9}cos \frac{4\pi}{9}cos \frac{8\pi}{9} \)，
則數對\( (a,b)= \)？
(101嘉義高中代理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1357&page=2#pid7417)
104.4.29補充
\( x^3+3x-2=0 \)在0與1之間有一個實數解\( x_0 \)，試解\( x_0 \)。
(104彰化高中，
https://math.pro/db/thread-2235-1-1.html)
提示：\( \displaystyle x=t-\frac{1}{t} \)
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本帖最後由 bugmens 於 2015-4-29 11:38 AM 編輯 ]
