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整除問題
bch0722b
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發表於 2014-11-26 23:04
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整除問題
\( \displaystyle a^2+ab+\frac{b^2}{ab-1}\)為正整數\(k\)
且\(a\)、\(b\)為正整數。
求\(k=\)?
答案是:4、7
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cefepime
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發表於 2014-11-29 19:25
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看到題目時,聯想到這題:
https://math.pro/db/thread-1955-1-2.html
依照
http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping
的方法,
試著"東施效顰"一下:
1. 若 a = b,則 k = 4
2. 若 a ≠ b,不失一般性令 a > b:
2-1 當 b = 1 或 2,則
k = 4 或 7,不贅。
2-2 當 b ≥ 3,k = (a² + ab + b²) / (ab - 1) < (2a² + ab) / (ab - 1) ≤ a (因 2a + b ≤ ab - 1)......(#)
原式 (a² + ab + b²) / (ab - 1) = k 重新整理得:
a² - b(k - 1) a + (b² + k) = 0
亦即 a 是方程式 x² - b(k - 1) x + (b² + k) = 0 之一根,設另一根為 γ,則
γ = b(k - 1) - a = (b² + k) / a
由這兩個 "=" 分別可知 γ 是整數與 γ > 0,即 γ 是正整數; 且
γ = (b² + k) / a < (b² + a) / a (依據 #) < b + 1
即 a > b ≥ γ
2-2.1 若 b = γ ,則得上文 1. 之情形
2-2.2
若 b > γ ≥ 3,以下用 ( b , γ ) 代替 ( a , b ) 重複 2-2 之過程,以下類推,直到兩根相等(上文 1. 之情形),或較小根 = 1 或 2 (上文 2-1 之情形) 為止。由於過程中 k 值保持不變,故得 k = 4 或 7。
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l421013
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發表於 2017-8-19 11:50
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